[論文レビュー] Broadly-Pluriminimal Submanifolds of Kaehler-Einstein Manifolds

Isabel M. C. Salavessa, Giorgio Valli|ArXiv.org|Apr 14, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ケーラー・アインシュタイン多様体における広義の複素最小的部分多様体を導入し、コンパクト性および負のスカラー曲率のもとで、複素方向をもたないような部分多様体が n=2 の場合にラグラジアンでなければならないことを証明する。主な結果は、Wolfson の n=1 の場合を一般化したものであり、ケーラー角の対称関数に対するラプラシアンの公式に依拠している。

ABSTRACT

We define broadly-pluriminimal immersed 2n-submanifold F: M --> N into a Kaehler-Einstein manifold of complex dimension 2n and scalar curvature R. We prove that, if M is compact, n \geq 2, and R < 0, then: (i) Either F has complex or Lagrangian directions; (ii) If n = 2, M is oriented, and F has no complex directions, then it is a Lagrangian submanifold, generalising the well-known case n = 1 for minimal surfaces due to Wolfson. We also prove that, if F has constant Kaehler angles with no complex directions, and is not Lagrangian, then R = 0 must hold. Our main tool is a formula on the Laplacian of a symmetric function on the Kaehler angles.

研究の動機と目的

• 複素次元 2n のケーラー・アインシュタイン多様体における広義の複素最小的部分多様体を定義し、その性質を研究すること。
• コンパクト性および負のスカラー曲率の下での、このような部分多様体の幾何的制約を調査すること。
• Wolfson の n=1 の最小曲面に関する結果を、特に n=2 の場合に高次元へ一般化すること。
• 広義の複素最小的部分多様体がいつラグラジアンでなければならないか、あるいはスカラー曲率が消えるかを特定すること。

提案手法

• ケーラー角の対称関数のラプラシアンを用いて、広義の複素最小的埋め込みを定義する。
• プッシュバックされたケーラー形式の極分解を用いて、接バンドル上での演算子 $ J_ ho $ と $ ilde{g} $ を定義する。
• 滑らかな関数 $ ilde{ ho} $ を余弦ケーラー角の対数変換から構成し、その最大値における最大値の原理を適用する。
• Weylの摂動定理を用いて、ケーラー角の局所リプシッツ連続性を保証し、定秩の開集合上で滑らかさを確保する。
• スカラー曲率 $ R $ を用いて $ riangle ilde{ ho} $ の重要な公式を導出し、$ ho $-最大値において $ riangle ilde{ ho} = -2R(\text{sum of } \text{cos}\theta_\beta) $ が成り立つことを示す。
• 連続性と最大値の原理を用いて、$ R < 0 $ の下で複素方向または非ラグラジアン方向が存在する場合に矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー曲率 $ R < 0 $ のケーラー・アインシュタイン多様体における広義の複素最小的部分多様体が、どのような条件下でラグラジアンでなければならないか。
• RQ2 Wolfson の n=1 の最小曲面に関する結果を、高次元部分多様体（n ≥ 2）へ一般化できるか。
• RQ3 広義の複素最小的部分多様体が定数ケーラー角を持つがラグラジアンでない場合、スカラー曲率 $ R $ はどのような値をとるか。
• RQ4 部分多様体の $ F^*\rho $ のランクが低下する点の近傍におけるケーラー角の振る舞いはどのように変化し、それが対称関数のラプラシアンにどのような影響を与えるか。
• RQ5 ランク低下する特異集合を横断してケーラー角の振る舞いを捉えることができる滑らかな関数を $ M $ 上に構成できるか。

主な発見

• $ F: M \to N $ が広義の複素最小的で、$ M $ がコンパクトで、$ n \neq 1 $、$ R < 0 $、かつ $ F $ が複素方向を持たないならば、$ n = 2 $ の場合に $ F $ はラグラジアンでなければならない。
• $ n = 2 $ の場合、$ F $ が広義の複素最小的で、$ M $ がコンパクトかつ向き付け可能で、$ R < 0 $、かつ $ F $ が複素方向を持たないならば、$ F $ はラグラジアンでなければならない。
• $ F $ が定数ケーラー角を持ち、かつラグラジアンでないならば、任意の $ n $ に対して $ R = 0 $ が成り立つ必要がある。
• $ \tilde{\rho} = \text{log}\frac{1+\text{cos}\theta_1}{1-\text{cos}\theta_1} + \text{log}\frac{1+s_2}{1-s_2} $ という対称関数のラプラシアンは、最大点 $ p_0 $ で $ \triangle \tilde{\rho}(p_0) = -2R(\text{cos}\theta_1(p_0)) $ を満たし、$ \text{cos}\theta_1(p_0) = 0 $ でなければ矛盾が生じる。
• $ n > 2 $ の場合、ランクが不足する集合を横断する際にケーラー角の対称関数の滑らかさが欠けるため、証明は成立しない。
• $ \rho $-最大値において $ \text{cos}\theta_1 > 0 $ かつ $ \text{cos}\theta_2 = 0 $ であるとき、ラプラシアンの条件から $ \text{cos}\theta_1 = 0 $ が導かれ、非ラグラジアン埋め込みの仮定に矛盾する。