[論文レビュー] Brownian-time Brownian motion SIEs on $\Rp imes\Rd$: Ultra Regular direct and lattice-limits solutions and fourth order SPDEs links

Hassan Allouba|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、ℝ₊×ℝᵈ 上のブラウン運動時間ブラウン運動確率積分方程式（BTBM SIE）を導入し、ドリフト係数にリプシッツ条件およびそれ未満の条件が成り立つ場合に、次元 d=1,2,3 において、超正則なホルダー解の存在を証明する。本稿では、新たな K マルティングレット手法とブラウン運動時間ランダムウォーク（BTRW）の格子極限を用いて、空間的・時間的正則性（d=1,2 ではほぼ局所的リプシッツ、d=3 では空間的ホルダー指数 1/2、時間的ホルダー指数 γ∈(0,(4−d)/8)）を確立し、BTBM SIE と第四階微分型SPDE（Kuramoto-Sivashinsky型方程式を含む）との関連を示す。

ABSTRACT

We delve deeper into the compelling regularizing effect of the Brownian-time Brownian motion density, $\KBtxy$, on the space-time-white-noise-driven stochastic integral equation we call BTBM SIE, which we recently introduced. In sharp contrast to second order heat-based SPDEs--whose real-valued mild solutions are confined to $d=1$--we prove the existence of solutions to the BTBM SIE in $d=1,2,3$ with dimension-dependent and striking Holder regularity, under both less than Lipschitz and Lipschitz conditions. In space, we show an unprecedented nearly local Lipschitz regularity for $d=1,2$--roughly, the SIE is spatially twice as regular as the Brownian sheet in these dimensions--and nearly local Hölder 1/2 regularity in d=3. In time, our solutions are locally Hölder continuous with exponent $γ\in(0,(4-d)/(8))$ for $1\le d\le3$. To investigate our SIE, we (a) introduce the Brownian-time random walk and we use it to formulate the spatial lattice version of the BTBM SIE; and (b) develop a delicate variant of Stroock-Varadhan martingale approach, the K-martingale approach, tailor-made for a wide variety of kernel SIEs including BTBM SIEs and the mild forms of many SPDEs of different orders on the lattice. Here, solutions types to our SIE are both direct and limits of their lattice version. The BTBM SIE is intimately connected to intriguing fourth order SPDEs in two ways. First, we show that it is connected to the diagonals of a new unconventional fourth order SPDE we call parametrized BTBM SPDE. Second, replacing $\KBtxy$ by the intimately connected kernel of our recently introduced imaginary-Brownian time-Brownian-angle process (IBTBAP), our SIE becomes the mild form of a Kuramoto-Sivashinsky SPDE with linear PDE part. Ideas developed here are adapted in separate papers to give a new approach, via our explicit IBTBAP representation, to many KS-type SPDEs in multi spatial dimensions.

研究の動機と目的

• 空間次元 d=1,2,3 におけるブラウン運動時間ブラウン運動確率積分方程式（BTBM SIE）の解の存在と鋭いホルダー正則性を確立すること。
• ドリフト係数 a に対してリプシッツ条件を満たさない場合でも解が存在することを示すことで、古典的第二階微分型SPDE理論を越える理論展開を行うこと。
• 離散化を伴わない格子ベースの手法として、ブラウン運動時間ランダムウォーク（BTRW）とその極限を用いて解を定義する新しいアプローチを開発すること。
• BTBM SIE と第四階微分型SPDE（パrametrized BTBM SPDE や線形化 Kuramoto-Sivashinsky SPDE を含む）との直接的な関連を確立すること。
• 任意の順序のカーネルに基づくSIEおよびSPDEに適応可能な、Stroock-Varadhanの方法の特化版である K マルティングレット手法を導入・適用すること。

提案手法

• BTBM SIE の導入：U(t,x) = ∫ℝᵈ 𝕂ᴮᵀᴮᴹᵈₜ;ₓ,ᵧ u₀(y)dy + ∫₀ᵗ∫ℝᵈ 𝕂ᴮᵀᴮᴹᵈₜ₋ₛ;ₓ,ᵧ a(U(s,y))𝕎(ds×dy)、ここで 𝕂ᴮᵀᴮᴹᵈ は BTBM の遷移密度関数である。
• 格子 ℤᵈδₙ 上におけるブラウン運動時間ランダムウォーク（BTRW）を定義し、BTBM プロセスの離散近似として用い、格子ベースのSIEを構築する。
• Stroock-Varadhan理論を応用した新規な K マルティングレット手法を適用し、格子 BTRW SIE の解のパスワイズ一意性と存在性を証明する。
• 伊藤の公式と離散微分作用素（Δₙ, Δₙ²）を用いて、BTRW プロセスの微分差分方程式（DDE）との関連を導出する。
• タイトネスと正則性推定を用いて、格子解の連続的 BTBM SIE への収束を確立し、極限解の存在を証明する。
• BTBM カーネルを虚数的ブラウン運動時間ブラウン角過程（IBTBAP）カーネルに置き換えることで、線形化 Kuramoto-Sivashinsky SPDE の弱形が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BTBM SIE は、第二階微分型SPDEの古典的制限である d=1 にとどまらず、空間次元 d=1,2,3 においても解を有するか？
• RQ2 ドリフト係数 a に対してリプシッツ条件およびそれ未満の条件が成り立つ場合に、BTBM SIE の解の空間的・時間的ホルダー正則性はどのように特定されるか？
• RQ3 ブラウン運動時間ランダムウォーク（BTRW）による格子近似は、連続的 BTBM SIE に対して一貫した解をもたらすか？また、極限においてどの程度の正則性が保存されるか？
• RQ4 BTBM SIE と第四階微分型SPDE（特にパrametrized BTBM SPDE や Kuramoto-Sivashinsky 型方程式）との関連は何か？
• RQ5 非マルコフ的かつ非セミマルティンググレットなカーネルを有する任意の順序のカーネルに基づくSIEおよびSPDEに、新しい K マルティングレット手法を体系的に展開できるか？

主な発見

• ドリフト係数 a に対してリプシッツ条件およびそれ未満の条件が成り立つ場合に、d=1,2,3 において BTBM SIE の解が存在し、第二階微分型SPDEの古典的制限 d=1 を超える拡張が達成される。
• 空間的正則性では、d=1,2 ではほぼ局所的リプシッツ、d=3 ではほぼ局所的ホルダー指数 1/2 を示し、これはブラウンシートの正則性の2倍に相当する。
• 時間的正則性では、d=1,2,3 に対して、局所的 γ-ホルダー連続性（γ∈(0,(4−d)/8)）を示し、次元が高くなるほど時間的正則性が向上することが示される。
• BTRW SIE の格子極限は連続的 BTBM SIE に収束し、極限解は連続的ケースと同一のホルダー正則性を有する。
• BTBM SIE は、カーネルを介して新しいパラメータ付き第四階微分型SPDEと関連づけられ、カーネルを IBTBAP カーネルに置き換えることで、線形化 Kuramoto-Sivashinsky SPDE の弱形が得られる。
• BTRW プロセスに対して第四階微分差分方程式（DDE）が導出され、格子過程と高階PDEとの間の新たな関連が確立される。