[論文レビュー] BSDEs with no driving martingale, Markov processes and associated Pseudo Partial Differential Equations. Part II: Decoupled mild solutions and Examples

Adrien Barrasso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、駆動マルティングループのない時間非一様マルコフ過程によって駆動される半線形擬擬微分方程式（pseudo-PDEs）に対して、分離された弱解（decoupled mild solutions）の概念を導入する。この解がマルティングループ解と等価であることを確立し、適切な条件下で存在性と一意性を証明する。さらに、これらの解が駆動マルティングループのない前向き後向きSDE（FBSDEs）と関連することを示し、特に局所的でないPDE作用素でない生成子を持つ場合のバリアント解（viscosity solutions）の強力な代替手段を提供する。

ABSTRACT

Let $(\mathbb{P}^{s,x})_{(s,x)\in[0,T] imes E}$ be a family of probability measures, where $E$ is a Polish space,defined on the canonical probability space ${\mathbb D}([0,T],E)$ of $E$-valued cadlag functions. We suppose that a martingale problem with respect to a time-inhomogeneous generator $a$ is well-posed. We consider also an associated semilinear {\it Pseudo-PDE} with generator $a$ for which we introduce a notion of so called {\it decoupled mild} solution and study the equivalence with the notion of martingale solution introduced in a companion paper. We also investigate well-posedness for decoupled mild solutions and their relations with a special class of BSDEs without driving martingale. The notion of decoupled mild solution is a good candidate to replace the notion of viscosity solution which is not always suitable when the map $a$ is not a PDE operator.

研究の動機と目的

• 時間非一様マルコフ過程に関連する半線形擬擬微分方程式に対して、新たな解析的解の概念—分離された弱解—を導入すること。
• 同伴論文で定義されたマルティングループ解と分離された弱解との間の等価性を確立すること。
• 生成子と終端条件に対して適切な正則性および可積分性条件が満たされている場合、分離された弱解の存在と一意性を証明すること。
• 分離された弱解と駆動マルティングループのない前向き後向きSDE（FBSDEs）との関係を明確にすること、特に非マルコフ的かつ非ブラウン運動的枠組みにおいて。
• 生成子作用素が局所的PDE作用素でない場合、特に退化または非拡散的設定において、バリアント解の代替手段としての分離された弱解の有効性を提供すること。

提案手法

• 時間非一様生成子を持つマルコフ過程の法則を表す、$[0,T]\times E$ 上の確率測度族 $(\mathbbm{P}^{s,x})_{(s,x)\in[0,T]\times E}$ を持つ、右連続左極限のパスの標準的空間に基づく枠組みを構築する。
• 生成子 $a$ とその carré du champ 演算子 $\Gamma(u)$ を用いた、$a(u) + f(\cdot,\cdot,u,\Gamma(u)^{1/2}) = 0$ の形をした擬擬微分方程式と、終端条件 $u(T,\cdot) = g$ を考察する。
• 生成子 $a$ に関連する時間依存遷移核を用いて、擬擬微分方程式の解への確率的・解析的橋渡しを可能にする形で、分離された弱解を定義する。
• 条件付き期待値の厳密な解析と、拡張作用素 $\mathfrak{a}$ および $\mathfrak{G}$ の使用により、分離された弱解とマルティングループ解との等価性を証明する。
• 適切な関数空間における不動点定理を用いて、存在性と一意性を確立する。この際、マルティングループ問題の適切な定義と、生成子およびその導関数の有界性に依存する。
• 前向き後向きSDE（FBSDE）との関係を形式化するため、$u(s,x) = Y^{s,x}_s$ が、$Y^{s,x}$ が $Y_t = g(X_T) + \int_t^T f(r,X_r,Y_r,\sqrt{d\langle M^{s,x}\rangle_r/dr})dr - (M_T^{s,x} - M_t^{s,x})$ の形で定まるFBSDEを満たすとき、分離された弱解であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子が局所的PDE作用素でない場合に、擬擬微分方程式に対して新たな解析的解の概念を定義できるか？
• RQ2 駆動マルティングループが存在しない状況において、分離された弱解の概念がマルティングループ解の確率的定義と等価であるか？
• RQ3 どのような条件下で分離された弱解が存在し、一意的であるか？
• RQ4 分離された弱解は、駆動マルティングループのない前向き後向きSDE（FBSDEs）とどのように関係しているか？
• RQ5 生成子作用素が局所的でない場合、特に非拡散的または退化した設定において、分離された弱解がバリアント解の有効な代替手段となるか？

主な発見

• 生成子が局所的PDE作用素でない場合に、時間非一様マルコフ過程によって駆動される半線形擬擬微分方程式に対して、分離された弱解という明確に定義された解析的解の概念が導入された。
• マルティングループ問題が生成子 $a$ に対して適切に定義されているという仮定の下で、分離された弱解がマルティングループ解と等価であることが証明された。
• 生成子 $f$ と終端条件 $g$ が有界かつ十分に正則である場合、適切な可積分性および正則性条件のもとで、分離された弱解の存在と一意性が確立された。
• 駆動マルティングループのないFBSDEの解 $u(s,x) = Y^{s,x}_s$ が、関連する擬擬微分方程式の分離された弱解であることが示された。
• 生成子 $a$ が局所的PDE作用素でない場合、特に非拡散的または退化した設定において、バリアント解の代替手段として、本フレームワークが強力な解析的代替手段を提供する。
• 等価性の証明は、Fubiniの定理による時間微分と生成子微分の交換可能性、および $a$ と $\Gamma$ をより大きな定義域に拡張する拡張作用素 $\mathfrak{a}$ と $\mathfrak{G}$ の使用に依存している。