[論文レビュー] BSDEs with time-delayed generators of a moving average type with applications to non-monotone preferences

Łukasz Delong|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、移動平均型の時間遅れ生成関数を備えた後向き確率微分方程式（BSDEs）を導入する。生成関数は、解およびその拡散成分の過去値の時間平均に依存する。著者らは明示的解を導出し、このような方程式が非単調な好みをモデル化できることを示し、失望効果とボラティリティ・アバージョン——古典的マルコフ型BSDEsに欠落している重要な行動的行動——を捉えることができることを示す。これにより、過去のボラティリティと失敗した期待値をペナルティ化する動的評価ルールが可能になる。

ABSTRACT

In this paper we consider backward stochastic differential equations with time-delayed generators of a moving average type. The classical framework with linear generators depending on $(Y(t),Z(t))$ is extended and we investigate linear generators depending on $(\frac{1}{t}\int_0^tY(s)ds, \frac{1}{t}\int_0^tZ(s)ds)$. We derive explicit solutions to the corresponding time-delayed BSDEs and we investigate in detail main properties of the solutions. An economic motivation for dealing with the BSDEs with the time-delayed generators of the moving average type is given. We argue that such equations may arise when we face the problem of dynamic modelling of non-monotone preferences. We model a disappointment effect under which the present pay-off is compared with the past expectations and a volatility aversion which causes the present pay-off to be penalized by the past exposures to the volatility risk.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、投資家の好みに記憶効果を組み込むために、古典的BSDEsを拡張することである。
• 歴史的パフォーマンスや期待値を無視するマークフ型生成関数の限界を扱う。
• 古典的BSDEsが捉えられない非単調な好み、例えば失望やボラティリティ・アバージョンをモデル化することである。
• 著者らは行動ファイナンスの知見に整合する動的評価フレームワークを提供することを目的としている。
• 移動平均型生成関数を備えた時間遅れBSDEsの明示的解を導出することである。

提案手法

• 本稿は、生成関数が[0,t]上でのY(s)およびZ(s)の移動平均、すなわち(1/t)∫₀ᵗ Y(s)dsおよび(1/t)∫₀ᵗ Z(s)dsに依存するBSDEsを定式化する。
• 修正ベッセル関数の第一種および第二種を用いて、明示的閉形式解を導出する。
• 解法の手続きは、時間遅れBSDEを常微分方程式系に変換することに依存する。
• 著者らは修正ベッセル関数の性質を用いて得られたODEを解き、解の存在および一意性を確立する。
• 動的評価ルールは、失望をモデル化する1つのBSDEとボラティリティ・アバージョンをモデル化する別のBSDEを解くことによって導出される。
• 評価ルールは時間平均期待値および過去ボラティリティペナルティを含み、二次変動およびストキャスティック積分を含む明示的表現で表される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 移動平均型の時間遅れ生成関数を備えたBSDEsは、非単調な投資家好みをモデル化できるか？
• RQ2 過去の期待値および過去のボラティリティ露出は、現在の評価およびユーティリティにどのように影響するか？
• RQ3 このようなBSDEsは、一時的な消費増加が長期的ユーティリティを低下させるという失望効果を捉えることができるか？
• RQ4 過去ボラティリティは現在の評価にどの程度ペナルティを課すのか？また、古典的BSDEsとはどのように異なるか？
• RQ5 移動平均型生成関数を備えた時間遅れBSDEsに対して、どのような明示的解構造が導かれるか？

主な発見

• 本稿は、修正ベッセル関数を用いて、移動平均型生成関数を備えた時間遅れBSDEsの明示的解を導出する。
• 解は非単調的行動を示す：終端ペイオフξの短期的増加が、常に現在の価格ρtを増加させるわけではない。これは非単調な好みと整合的である。
• 評価ルールρt,T(ξ) = ẼQ[ξ|Ft] − β ln(T/t) ∫₀ᵗ Z(s)dsは、過去ボラティリティをペナルティ化し、過去ボラティリティが高くかつペイオフが低下した場合には負の値をとる。
• 動的評価ルールρt,T(ξ) = ˜V(t) − β ln(T/t) ∫₀ᵗ Z(s)dsは、現在の評価が累積的過去ボラティリティによって低下することを示し、リスク回避をモデル化する。
• 表現dRt(s) = d˜V(s) − β ln(T/t)/s d[˜V,˜V](s)/ds dsは、価格が期待ペイオフ変化のシャープレシオに基づいて調整されることを示す。
• このモデルは失望効果を捉える：高い期待に続いて悪い結果が生じると、負の評価が生じる。これはLoomes & SugdenおよびDybvig & Rogersと整合する。