[論文レビュー] Bulk diffusion of 1D exclusion process with bond disorder

Alessandra Faggionato|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、ランダムでサイト依存の遷移確率（結合不純度）を有する1次元単純排除過程の流体力学的挙動を研究する。先行研究の手法を拡張することで、拡散スケーリングを施した過程が、拡散定数 $1/\alpha$ の熱方程式の解に収束することを証明した。ここで $\alpha$ は $1/c_k$ の経験的平均のほとんど確実な極限である。$\alpha < \infty$ のとき、系は拡散的スケーリングを示す。$\alpha = \infty$ のとき、より強い条件（H）の下で準拡散的挙動を示す。

ABSTRACT

Given a doubly infinite sequence of positive numbers {c_k: k in Z} satisfying a LLN with limit A, we consider the nearest-neighbor simple exclusion process on Z where c_k is the probability rate of jumps between k and k+1. If A is infinite we require an additional minor technical condition. By extending a method developed by K. Nagy, we show that the diffusively rescaled process has hydrodynamic behavior described by the heat equation with diffusion constant 1/A. In particular, the process has diffusive behavior for finite A and subdiffusive behavior for infinite A.

研究の動機と目的

• i.i.d. または決定的結合不純度を有する1次元単純排除過程の流体力学的極限を確立すること。
• 逆遷移確率 $c_k^{-1}$ の漸近的挙動に応じて、粒子密度の拡散的スケーリング極限を特定すること。
• 系が拡散的（$\alpha < \infty$）または準拡散的（$\alpha = \infty$）挙動を示すための条件を同定すること。
• 類似の手法を用いて、流体力学的極限結果を高次元に拡張すること。
• $c_k^{-1}$ の大数の法則と、準拡散的挙動に必要なより強い条件（H）との違いを明確にすること。

提案手法

• $\mathbb{Z}$ 上で、隣接サイト $k$ と $k+1$ 間の遷移確率が $c_k$ である最近接遷移を有する排除過程を定義する。ここで $\{c_k\}$ は正の数の列である。
• $k \geq 1$ に対して $S(k) = \sum_{j=0}^{k-1} c_j^{-1}$ を定義し、$k \to \infty$ のときの $S(k)/k$ の漸近的挙動を考察する。
• $\lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{j=0}^{k-1} c_j^{-1} = \alpha$（$\alpha \in (0, \infty]$）を主なスケーリングパrameterとみなす。
• [11] の手法を適用し、$t \sim n^2$ の拡散的スケーリングの下で、経験的粒子密度が熱方程式 $\partial_t \rho = (1/\alpha) \partial_x^2 \rho$ の解に収束することを証明する。
• 準拡散的ケース（$\alpha = \infty$）では、$S(k)$ の区間内での増大度を含む条件（H）を導入し、これにより有効拡散定数が消えることを保証する。
• 生成子とランダムウォーク近似を高次元に適応することで、$d$-次元格子への一般化を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遷移確率 $c_k$ がどのような条件下で、$\mathbb{Z}$ 上の排除過程が拡散的流体力学的挙動を示すか。
• RQ2 逆遷移確率 $c_k^{-1}$ が $\alpha < \infty$ に大数の法則を満たすとき、流体力学的極限における有効拡散定数は何か。
• RQ3 系が $\alpha = \infty$ の場合でも、流体力学的極限が確立可能か。その場合、どのようなより強い条件下で成立するか。
• RQ4 環境 $\{c_k\}$ が決定的ではなく i.i.d. である場合、流体力学的挙動はどのように変化するか。
• RQ5 この手法は、$\mathbb{Z}^d$ の高次元格子にどの程度まで拡張可能か。

主な発見

• $\alpha < \infty$ のとき、拡散的スケーリングを施した排除過程は、初期密度 $\rho_0$ を持つ熱方程式 $\partial_t \rho = (1/\alpha) \partial_x^2 \rho$ の解に弱収束する。
• 流体力学的極限における拡散定数は $1/\alpha$ であり、ここで $\alpha = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{j=0}^{k-1} c_j^{-1}$ であり、極限が存在して有限であればよい。
• $\alpha = \infty$ のとき、系は準拡散的挙動を示す：粒子密度は局在化し、流体力学的極限は自明になる。時間 $t$ における密度は初期密度 $\rho_0(x)$ に等しい。
• 準拡散的結果は、有効時間スケールが発散することを保証する条件（H）の下で成立する。これは、平均 $c_k^{-1}$ がゆっくりと増大するが、それでも輸送の時間スケールが無限大に発散することを意味する。
• 条件（H）は $c_k^{-1}$ の大数の法則よりも厳密に強い。$\alpha = \infty$ でも（H）が成立しない例は存在し、その場合準拡散的挙動は成立しない。
• この手法は $\mathbb{Z}^d$ に拡張可能であり、$c_k^{-1}$ に同様の条件が成立する限り、流体力学的極限は再び拡散定数 $1/\alpha$ の熱方程式となる。