[論文レビュー] Hydrodynamic behavior of one dimensional subdiffusive exclusion processes with random conductances

Alessandra Faggionato, M. Jara+1 more|ArXiv.org|Sep 3, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、$\alpha$-安定分布の吸引域に属する重い尾を持つランダムな跳躍レート（$0 < \alpha < 1$）をもつ1次元排他過程を研究する。超拡散的時間スケーリング $N^{1+1/\alpha}L(N)$ の下で、クエンチド（実現ごとの）流体力学的極限を用いて、密度プロファイルが、二重側 $\alpha$-安定サブディレーター $W$ によって駆動される確率的偏微分方程式に従って進化することを確立する。その生成子は $\mathfrak{L}_W = \frac{d}{du}\frac{d}{dW}$ である。ランダム環境からのノイズは流体力学的極限において完全に残存し、古典的な拡散的状況とは対照的である。

ABSTRACT

Consider a system of particles performing nearest neighbor random walks on the lattice $\ZZ$ under hard--core interaction. The rate for a jump over a given bond is direction--independent and the inverse of the jump rates are i.i.d. random variables belonging to the domain of attraction of an $\a$--stable law, $0

研究の動機と目的

• 空間的に不均一な重い尾を持つ跳躍レートをもつ1次元排他過程の流体力学的挙動を理解すること。
• 強い不規則性が存在する状況において、逆跳躍レートが i.i.d. で $\alpha$-安定分布の吸引域に属する（$0 < \alpha < 1$）場合にクエンチド流体力学的極限を確立すること。
• 極限的なマクロな力学は、$W$ が二重側 $\alpha$-安定サブディレーターであるとき、$\mathfrak{L}_W = \frac{d}{du}\frac{d}{dW}$ という確率的微分作用素によって支配されることを示すこと。
• この準拡散的でランダムな環境下で、トレース粒子の弱大数法則を証明すること。

提案手法

• 二重側 $\alpha$-安定サブディレーター $W$ を用いて、元の i.i.d. 環境と配列 $\{\xi_{N,x}\}$ のカップリングを構築し、再スケーリングされた局所時間和のほとんど確実収束を保証すること。
• 再スケーリングされたランダムウォークの、ランダム環境におけるほとんど確実不変性原理を用いて、分布収束をほとんど確実収束に置き換えること。
• 時間スケーリング $N^{1+1/\alpha}L(N)$ の下で、経験的密度プロファイルが、確率的偏微分方程式 $\partial_t \rho = \mathfrak{L}_W \rho$ の解に収束することを証明することで、クエンチド流体力学的極限を確立すること。
• 微分 $d/dW$ を増加過程 $W$ に関するステルトジウス型微分として定義し、それによって生成子 $\mathfrak{L}_W$ を特徴づけること。
• トレース粒子の位置が、微分 $d\rho_t/dW$ を含む微分方程式を満たし、時間微分がこの微分の符号と値に依存することを示すこと。
• 優越収束定理と差分商の $L^1$ 収束を用いて、トレース粒子の漸近的速さの微分を正当化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 跳躍レートが空間的に重い尾を持ち、i.i.d. である場合、1次元排他過程の流体力学的極限はどのように振る舞うか？
• RQ2 逆跳躍レートが $\alpha$-安定分布の吸引域に属する（$0 < \alpha < 1$）場合に、クエンチド流体力学的極限を確立できるか？
• RQ3 極限的なマクロな方程式の形は何か？また、ランダム環境は極限過程の生成子にどのように影響を与えるか？
• RQ4 トレース粒子の位置は長時間にわたりどのように進化するか？その漸近的速さを支配する微分方程式は何か？
• RQ5 ランダム環境からのノイズは流体力学的極限において完全に残存するのか、それとも平均化されるのか？

主な発見

• 超拡散的時間スケーリング $N^{1+1/\alpha}L(N)$ の下で、経験的密度プロファイルはほとんど確実（クエンチド）に、確率的偏微分方程式 $\partial_t \rho = \mathfrak{L}_W \rho$ の解に収束する。ここで $\mathfrak{L}_W = \frac{d}{du}\frac{d}{dW}$ である。
• 極限過程 $\{Y_t\}$ は連続的かつ自己相似的マルコフ過程であるが、強くマルコフ的ではなく、フェラー過程でもない。これはランダム環境 $W$ に起因する。
• 生成子 $\mathfrak{L}_W$ は $\alpha$-安定サブディレーター $W$ の実現に明示的に依存するため、不規則性からのノイズが流体力学的極限において完全に残存する。
• トレース粒子の位置 $u_W(t)$ は、微分 $d\rho_t/dW$ を含む微分方程式を満たし、右および左微分は $d\rho_t/dW$ の符号に依存する式で与えられる。
• トレース粒子の漸近的速さは、$\rho_t$ の局所的挙動および $W$ に関するその微分の性質に依存し、$t > 0$ に対して $u_W(t)$ は両側から微分可能である。
• 差分商 $h^{-1}(P_h\rho_t - \rho_t)$ が $L^1(\mathbb{R})$ で $\mathfrak{L}_W\rho_t$ に収束するため、生成子は適切に定義され、力学は一貫性を保つ。