[論文レビュー] Bundle Constructions of Calibrated Submanifolds in R^7 and R^8

Marianty Ionel, Spiro Karigiannis+1 more|ArXiv.org|Jul 31, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ℝ⁴ 内の最小曲面を ℝ⁷ における反自己双対 2-形式のバンドル（ℝ⁷）および負スピンルールバンドル（ℝ⁸）に引き上げることで、ℝ⁷ および ℝ⁸ におけるキャリブレートされた部分多様体を生成するバンドル構成法を提案する。主な結果として、ℝ⁷ 内のアソシオタティブ部分多様体は、ℝ⁴ 内の任意の最小曲面から得られ、一方、コアソシオタティブおよびカイリー部分多様体を得るには追加の幾何的条件が必要であり、特殊ホロノミー幾何学への応用を持つ、新しい明示的なキャリブレートされた部分多様体の例が得られる。

ABSTRACT

We construct calibrated submanifolds of R^7 and R^8 by viewing them as total spaces of vector bundles and taking appropriate sub-bundles which are naturally defined using certain surfaces in R^4. We construct examples of associative and coassociative submanifolds of R^7 and of Cayley submanifolds of R^8. This construction is a generalization of the Harvey-Lawson bundle construction of special Lagrangian submanifolds of R^{2n}.

研究の動機と目的

• 特殊ラグランジュ部分多様体のハーヴェイ＝ローワンのバンドル構成を、例外的ホロノミー群 G₂ および Spin(7) に一般化すること。
• ℝ⁴ 内の最小曲面を基本多様体として用い、ℝ⁷ および ℝ⁸ 内のキャリブレートされた部分多様体（アソシオタティブ、コアソシオタティブ、カイリー）の明示的例を構成すること。
• 関連するバンドルの全空間におけるキャリブレートされた部分多様体を生成するための、ℝ⁴ 内の基本曲面に必要な正確な幾何的条件を同定すること。
• 低次元の複素構造またはシンプレクティック部分空間に含まれない、非自明なキャリブレートされた部分多様体の新しい例を提供すること。

提案手法

• ℝ⁷ を ℝ⁴ 上の反自己双対 2-形式のバンドルとみなし、ℝ⁸ を ℝ⁴ 上の負スピンルールバンドルとみなす。両者とも自然な G₂ および Spin(7) 構造を持つ。
• ℝ⁴ に埋め込まれた 2 次元の最小曲面 M² にこれらのバンドルを制限する。
• 誘導された複素構造および正規バンドルのデータを用いて、制限されたバンドルのランク 1 およびランク 2 の部分バンドルを構成する。
• 誘導された計量およびキャリブレーション形式を用いて、これらの部分バンドルがいつキャリブレートされる（すなわち、アソシオタティブ、コアソシオタティブ、またはカイリーであるか）かを特定する。
• コーシー＝リーマン方程式および幾何的恒等式を適用し、キャリブレーション条件を簡略化し、明示的なパrametrization を導出する。
• キャリブレーション形式の引き戻しが体積形式に一致することを確認することで、得られた部分多様体がキャリブレートされることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ⁴ 内の曲面 M² に対して、関連する ∧²₋(ℝ⁴)|M² のランク 1 部分バンドルが ℝ⁷ 内でアソシオタティブ部分多様体となるための条件は何か？
• RQ2 ℝ⁷ 内で ∧²₋(ℝ⁴)|M² のランク 2 部分バンドルがコアソシオタティブであるための条件は何か？また、これは M² の最小性およびスーパー最小性（半分の実的等方的最小曲面方程式を満たすこと）とどのように関係するか？
• RQ3 ℝ⁴ 内の M² 上の負スピンルールバンドルのランク 2 部分バンドルが ℝ⁸ 内でカイリー部分多様体となるための条件は何か？
• RQ4 この構成により、ℂ³ ⊂ ℝ⁷ に含まれない非自明なコアソシオタティブ部分多様体が ℝ⁷ 内に得られるか？
• RQ5 この構成枠組みにおいて、アソシオタティブおよびカイリー部分多様体の変形理論の複雑さは、特殊ラグランジュおよびコアソシオタティブ部分多様体のそれと比べてどう異なるか？

主な発見

• ∧²₋(ℝ⁴)|M² のランク 1 部分バンドルが ℝ⁷ 内でアソシオタティブであるための必要十分条件は、M² が ℝ⁴ 内で最小であることであり、これ以上の追加条件は不要である。
• ∧²₋(ℝ⁴)|M² のランク 2 部分バンドルが ℝ⁷ 内でコアソシオタティブであるための必要十分条件は、M² がスーパー最小的（実的等方的最小曲面方程式の半分を満たす）であることである。
• 負スピンルールバンドルの M² 上の 2 つのランク 2 部分バンドルが ℝ⁸ 内でカイリーであるための必要十分条件は、M² が ℝ⁴ 内で最小であることである。
• u = eˣcos(y), v = eˣsin(y) を用いて、ℝ⁷ 内のアソシオタティブ部分多様体の明示的例が構成され、(t, x, y, u, v) でパラメトライズされる非自明な 4 次元部分多様体が得られる。
• コアソシオタティブ構成により、任意の ℂ³ の部分空間に含まれない例が得られ、特に (2eˣ(t₁sin(y)−t₂cos(y)), t₁(1−e²ˣ), t₂(1−e²ˣ), x, y, eˣcos(y), eˣsin(y)) でパラメトライズされる例が含まれる。
• カイリー構成により、アソシオタティブ 3 次元多様体 L に対して ℝ×L の形をとる部分多様体、または非自明な ℝ⁷ 内のコアソシオタティブ部分多様体が得られ、これによりこのような対象を生成する新しい方法が示された。