[論文レビュー] Burkholder-Davis-Gundy type Inequalities of the Itô stochastic integral with respect to Levy noise on Banach spaces

Erika Hausenblas|ArXiv.org|Feb 12, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間におけるレヴィノイズによって駆動される伊藤確率積分について、ブールクホルダー＝デイヴィス＝ガンディー型の不等式を新たに確立し、古典的結果をジャンプ過程へと拡張する。$1 < p \leq 2$ および $q = p^n$ に対して、被積分関数の $L^p$-ノルムと強度測度に依存するモーメント評価を証明し、定数はバナッハ空間、$p$、$q$ のみに依存する。これにより、純粋なジャンプマルティンゲールに対する鋭い推定が可能になる。

ABSTRACT

The aim of this note is to give some Burkholder-Davis-Gundy type inequalities which are valid for the Ito stochastic integral with respect to Banach valued Levy noise.

研究の動機と目的

• バナッハ空間値のレヴィノイズによって駆動される確率積分へのブールクホルダー＝デイヴィス＝ガンディー不等式の拡張を図ること。
• バナッハ空間における補正付きポアソン確率測度に関する伊藤積分のモーメント推定を導出すること。
• レヴィ過程に関する確率積分として表現される純粋なジャンプマルティンゲールのための不等式を確立すること。
• 不等式における定数がバナッハ空間の型、$p$、および $q = p^n$ にどのように依存するかを特定すること。
• 無限次元設定におけるジャンプを伴う確率過程の $L^p$-モーメントを分析するための枠組みを提供すること。

提案手法

• フィルトレーション付きの確率空間上での補正付きポアソン確率測度 $\tilde{\eta}$ と強度 $\nu$ を用い、伊藤積分 $I(t) = \int_0^t \int_S \xi(s;x) \tilde{\eta}(dx;ds)$ を定義する。
• バナッハ空間 $E$ のマルティンゲール型 $p$ の概念を適用し、モーメント不等式の有効性を保証する。
• 一般化されたドゥーブ最大不等式と凸関数の技法、特にヤング共役を用いて、積分の上界ノルムを制御する。
• 被積分関数 $\xi$ の $L^p$-ノルムと強度測度 $\nu$ を用い、$\Phi$-モーメント推定を用いて境界を導出する。
• 二分木的分解と最大関数推定を用いたチェインニングの議論により、$\mathbb{E}\sup |I(s)|^q$ を制御する。
• 凸関数 $\Phi$ の共役関数 $\Psi$ を用い、特に $\Phi(2\lambda) \leq c_\Phi \Phi(\lambda)$ の成長条件の下で、成長と双対性推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブールクホルダー＝デイヴィス＝ガンディー不等式は、バナッハ空間におけるレヴィノイズによって駆動される伊藤確率積分へと拡張可能か？
• RQ2 このような積分の上界のモーメントの鋭い評価は、被積分関数と強度測度を用いてどのように表されるか？
• RQ3 不等式における定数は、バナッハ空間 $E$、指数 $p$、および $q = p^n$ にどのように依存するか？
• RQ4 これらの不等式は、純粋なジャンプマルティンゲールの $L^q$-モーメントを特徴付けるために応用可能か？
• RQ5 バナッハ空間のマルティンゲール型 $p$ 性質は、このようなモーメント推定を導出する上で果たす役割は何か？

主な発見

• $1 < p \leq 2$ および $q = p^n$、$n \in \mathbb{N}$ に対して、$E$、$p$、$q$ のみに依存する正の定数 $C, \bar{C} > 0$ が存在し、$\mathbb{E}\sup_{0\leq s\leq t}|I(s)|^q \leq C \, \mathbb{E}\left(\int_0^t \int_S |\xi(s;x)|^p \eta(dx;ds)\right)^{q/p}$ が成り立つ。
• この評価は、さらに $\bar{C} \left( \mathbb{E}\int_0^t \int_S |\xi(s;x)|^q \nu(dx;ds) + \mathbb{E}\left(\int_0^t \int_S |\xi(s;x)|^p \nu(dx;ds)\right)^{q/p} \right)$ によって制御され、モーメントと強度測度を結びつける。
• 純粋なジャンプマルティンゲール $X(t) = \int_0^t h(s) \, dL(s)$ に対して、同じ定数を用いて $\mathbb{E}\sup_{0\leq s\leq t}|X(s)|^q \leq C \, \mathbb{E}\left(\sum_{0\leq s\leq t}|\Delta_s X|^p\right)^{q/p}$ が成り立つ。
• 定数 $C$ および $\bar{C}$ はフィルトレーションに依存せず、バナッハ空間 $E$ のマルティンゲール型 $p$、$p$、および $q = p^n$ のみに依存する。
• 成長条件 $\Phi(2\lambda) \leq c_\Phi \Phi(\lambda)$ により、$\Phi$-モーメントの一様な制御が保証され、導出過程で共役関数の使用が可能になる。
• 凸共役関数 $\Psi$ の使用と関連する双対性不等式（例：$uv \leq \Phi(u) + \Psi(v)$）により、証明における最大関数モーメントの正確な推定が可能になる。