[論文レビュー] BV functions and fractional Laplacians on Dirichlet spaces

Patricia Alonso Ruiz, Fabrice Baudoin+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、部分ガウス型の熱核推定を持つ測度付き距離空間におけるベソフ空間およびBV関数の熱半群に基づく理論を確立し、劣微分作用素による分数階ラプラシアンの導入を含む。臨界指数、共面積公式、$L^1$-擬パoincaré不等式、等周不等式を導出し、基礎的な幾何が弱い Bakry-Émery 曲率条件を満たす場合、BV空間が分数階ソボレフ空間と一致することを示した。

ABSTRACT

We study $L^p$ Besov critical exponents and isoperimetric and Sobolev inequalities associated with fractional Laplacians on metric measure spaces. The main tool is the theory of heat semigroup based Besov classes in Dirichlet spaces that was introduced by the authors in previous works.

研究の動機と目的

• 非局所的Dirichlet空間における有界変動関数（BV）および分数階ソボレフ空間の理論を、熱半群に基づくアプローチで拡張すること。
• 分数階ラプラシアン $(-L)^\delta$ を用いて、ベソフ空間 $\mathbf{B}^{p,\alpha}(X)$ の $L^p$-臨界指数を特徴づけること。
• 特にBV関数に対して、非局所的Dirichlet空間における等周不等式およびソボレフ型不等式を確立すること。
• 非自明なベソフ空間を特徴づける臨界指数 $\alpha = 1/p$ を特定し、$\mathbb{R}^d$ 上の古典的Gagliardo定義と関連付けること。
• 幾何的仮定（弱い Bakry-\'Emery 曲率条件など）に応じて、BV関数のKorevaar-Schoen空間と分数階ソボレフ空間との二分岐の仕組みを解明すること。

提案手法

• 分数階ラプラシアン $(-L)^\delta$ の熱半群を用いてベソフ空間 $\mathbf{B}^{p,\alpha}(X)$ を定義し、ノルム $\|f\|_{p,\alpha} = \sup_{t>0} t^{-\alpha} \left( \int_X P_t^{(\delta)}(|f - f(x)|^p)(x) \, d\mu(x) \right)^{1/p}$ を用いる。
• 劣微分を用いて、元のDirichlet形式 $\mathcal{E}^{(\delta)}$ から分数階ラプラシアン $(-L)^\delta$ を構成し、$0 < \delta < \min\{1, d_H/d_W\}$ の下で、関連する半群が強く連続的かつ一時的であることを保証する。
• 非定数関数を含む $\mathbf{B}^{p,\alpha}(X)$ の臨界指数 $\alpha_p^\#(X) = \sup\{\alpha > 0 : \mathbf{B}^{p,\alpha}(X) \text{ に非定数関数が存在する}\}$ を導入し、$\mathbf{B}^{1,\alpha_1^\#}(X)$ をBV型空間として定義する。
• レベル集合 $E_t(|f|) = \{x : |f(x)| > t\}$ を用いて、BV関数の共面積公式を導出し、全 variation と上位集合の容量を関連付ける。
• 容量条件 $\mu(K)^{1/\kappa} \leq \Theta \cdot \text{Cap}_0(K)$ を用いて $L^1$-擬パoincaré不等式を確立し、$\|f\|_{L^{2\kappa}} \leq C \sqrt{\mathcal{E}^{(\delta)}(f,f)}$ の形のソボレフ不等式を示す。
• 変分的容量 $\text{Cap}_0(K)$ とスぺクトラル次元 $d_S^{(\delta)} = 2d_W/(\delta d_H)$ を用いて、一時性を特徴づけ、等周型不等式と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的Dirichlet空間における非自明なベソフ空間 $\mathbf{B}^{p,\alpha}(X)$ を特徴づける臨界指数 $\alpha = 1/p$ の役割は何か？
• RQ2 熱半群に基づくアプローチで定義されたBV関数は、測度付き距離空間における分数階ソボレフ空間とどのように関係するか？
• RQ3 BV関数の空間が分数階ソボレフ空間と一致する幾何的条件は何か？また、Korevaar-Schoen空間と一致するのはどのような場合か？
• RQ4 局所的正則性を仮定せず、熱核および容量推定のみを用いて、非局所的Dirichlet空間における等周不等式およびソボレフ不等式を導出可能か？
• RQ5 弱い Bakry-\'Emery 曲率条件 $|P_t^{(\delta)}f(x) - P_t^{(\delta)}f(y)| \leq C \frac{d(x,y)^\kappa}{t^{\kappa/(\delta d_W)}} \|f\|_{L^\infty}$ がBV不等式の証明において果たす役割は何か？

主な発見

• 臨界指数 $\alpha < 1/p$ の場合、ベソフ空間 $\mathbf{B}^{p,\alpha}(X)$ は非自明であり、$s = \alpha$ かつ $\delta = 1$ のとき、$\mathbb{R}^d$ 上の分数階ソボレフ空間 $W^{s,p}$ と一致する。
• $\alpha > 1/p$ の場合、空間 $\mathbf{B}^{p,\alpha}(X)$ は自明であり、演算子の非局所性に起因する臨界点 $\alpha = 1/p$ が明確に示された。
• BV関数の臨界指数 $\alpha_1^\#$ に対して、$\mathbf{B}^{1,\alpha_1^\#}(X) = \text{BV}(X)$ が成り立ち、弱い Bakry-\'Emery 条件が成り立つ場合、この空間は分数階ソボレフ空間 $W^{s,1}$ と等長同型である。
• 共面積公式が成立する：$\int_0^\infty \text{Cap}_0(E_t(|f|)) \, dt \leq 4 \mathcal{E}^{(\delta)}(f,f)$ であり、全 variation と上位集合の容量が関連づけられる。
• 容量条件 $\mu(K)^{1/\kappa} \leq \Theta \cdot \text{Cap}_0(K)$ の下で $L^1$-擬パoincaré不等式が確立され、定数 $C > 0$ が存在して $\|f\|_{L^{2\kappa}} \leq C \sqrt{\mathcal{E}^{(\delta)}(f,f)}$ が成り立つ。
• $\mathbf{B}^{p,1/p}(X)$ は $p \geq 2$ のとき $L^p(X,\mu)$ で稠密であり、$s = 1/p$ のとき分数階ソボレフ空間 $W^{s,p}(X)$ と一致する。これは、$\mathbb{R}^d$ 上のGagliardoの定義を測度付き距離空間へ一般化したものである。