[論文レビュー] $C^0$ discontinuous Galerkin finite element methods for second order linear elliptic partial differential equations in non-divergence form

Xiaobing Feng, Lauren Hennings+1 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、連続係数を有する非発散型の2階線形楕円型PDEに対して、$C^0$不連続ガレルキン有限要素法を提案する。非対称でPDEに起因する双線形形式に内部ペナルティ項を組み込むことで、多項式次数 $k \geq 2$ に対して、離散 $W^{2,p}$ 範囲での最適収束が達成される。これは、離散カルデロン–ジーグムンド推定と、離散レベルでの強解技術を模倣することによって証明される。

ABSTRACT

This paper is concerned with finite element approximations of $W^{2,p}$ strong solutions of second-order linear elliptic partial differential equations (PDEs) in non-divergence form with continuous coefficients. A nonstandard (primal) finite element method, which uses finite-dimensional subspaces consisting globally continuous piecewise polynomial functions, is proposed and analyzed. The main novelty of the finite element method is to introduce an interior penalty term, which penalizes the jump of the flux across the interior element edges/faces, to augment a nonsymmetric piecewise defined and PDE-induced bilinear form. Existence, uniqueness and error estimate in a discrete $W^{2,p}$ energy norm are proved for the proposed finite element method. This is achieved by establishing a discrete Calderon-Zygmund-type estimate and mimicking strong solution PDE techniques at the discrete level. Numerical experiments are provided to test the performance of proposed finite element method and to validate the convergence theory.

研究の動機と目的

• 非発散構造を持たないため、標準ガレルキン法が失敗する2階楕円型PDEに対して、安定かつ収束する有限要素法を開発すること。
• 係数行列 $A$ が連続的ではあるが微分可能でない場合に、$W^{2,p}$ 強解を近似する課題に対処すること。
• グローバルに連続な区分的多項式を用いるプライマル有限要素法を設計し、標準FEMソフトウェアで容易に実装可能で計算が単純であるようにすること。
• PDEレベルでの強解技術を模倣する新しい離散安定性推定を用いて、離散 $W^{2,p}$ エネルギー範囲での最適収束レートを確立すること。
• 滑らかで一様連続的、あるいは退化係数を有する問題に対して数値的に検証を行い、理論的仮定を越えて収束を示すことを目的とする。

提案手法

• 本手法は、$k \geq 2$ のグローバルに連続な区分的多項式からなる $C^0$ 有限要素空間を用いたプライマル式を採用する。
• 非対称な双線形形式を構築し、PDEに起因する項と、要素界面におけるフラックスのジャンプをペナルティ化する内部ペナルティ項を組み込む。
• 内部ペナルティ項により勾配の弱い連続性が強制され、内部ペナルティDG法の特徴を模倣しつつ、離散解の $C^0$ 連続性を維持する。
• 安定性と収束性は、局所離散化を定数係数発散型作用素の摂動とみなすことによって導かれる離散カルデロン–ジーグムンド型推定を用いて確立される。
• 解析は、特に非発散型における局所安定性とグローバルなガーディング型不等式を含む、PDE理論における強解技術に従う。
• 本手法は標準的な有限要素ソフトウェアを用いて実装され、双線形形式は要素単位でアセンブルされ、安定性を保証するようにペナルティパラメータが選定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続係数を有する非発散型2階楕円型PDEに対して、安定かつ収束する $C^0$ 有限要素法を構築できるか？
• RQ2 非対称でPDEに起因する双線形形式に内部ペナルティ項を導入することで、離散 $W^{2,p}$ 範囲での最適収束が達成されるか？
• RQ3 非発散型PDEに対して、離散カルデロン–ジーグムンド推定を確立できるか？これは、強解の安定性理論を模倣するものである。
• RQ4 理論的収束保証がなくても、非一様楕円的または退化係数を有する問題に対して、本手法は頑健であるか？
• RQ5 多項式次数や問題タイプが異なる場合に、$H^1$ および区分的 $H^2$ 誤差に対して、実際の収束レートはどのようになるか？

主な発見

• 提案された $C^0$ DG 有限要素法は、準均一メッシュ上での多項式次数 $k \geq 2$ に対して、離散 $W^{2,p}$ 範囲で最適収束を達成する。
• 数値実験により、$|u - u_h|_{H^1(\nOmega)} = \mathcal{O}(h^k)$ および $\|D_h^2(u - u_h)\|_{L^2(\nOmega)} = \mathcal{O}(h^{k-1})$ が確認され、滑らかな問題における理論的予測と一致する。
• $W^{2,p}$ 解を有し、$p < 8/5$ である問題に対しては、$k \geq 2$ のとき、区分的 $H^2$ 範囲で収束レート $\mathcal{O}(h^{3/4 - \varepsilon})$ を示し、理論と整合的である。
• 行列式 $\det(A) = 0$ である退化係数行列に対しても、$\|u - u_h\|_{L^2} = \mathcal{O}(h^{4/3})$ および $|u - u_h|_{H^1} = \mathcal{O}(h^{5/6})$ の観察された収束レートが得られ、理論を越える頑健性を示唆する。
• $H^1$ 誤差は最適に $\mathcal{O}(h^k)$ で収束し、$k=1$ の区分的線形の場合でも収束性は維持されるが、最適レートの証明は $k \geq 2$ の場合に限られる。
• 本手法は構造的に単純で、計算的に効率的であり、標準的な有限要素ソフトウェアと互換性があるため、容易な実装が可能である。