[論文レビュー] C^0-generic properties of boundary operators in Novikov Complex

Andrei Pajitnov|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、円周値モーレス関数を備えた多様体上の C^0-一般の勾配ベクトル場に対して、元々ローレンツ級数上に定義されたノヴィコフ複体が、有理関数の環上に実現可能であることを確立する。著者は、新規のモース理論的ハンドル分解と勾配降下写像の連続的代数的モデルを用いて、ノヴィコフ複体の境界作用素が一般に有理関数であることを証明し、複体の代数的構造を顕著に単純化する。

ABSTRACT

One of the basic objects in the Morse theory of circle-valued maps is Novikov complex - an analog of the Morse complex of Morse functions. Novikov complex is defined over the ring of Laurent power series with finite negative part. The main aim of this paper is to present a detailed and self-contained exposition of the author's theorem saying that C^0-generically the Novikov complex is defined over the ring of rational functions. The paper contains also a systematic treatment of the topics of the classical Morse theory related to Morse complexes (Chapter 2). We work with a new class of gradient-type vector fields, which includes riemannian gradients. In Ch.3 we suggest a purely Morse-theoretic (not using triangulations) construction of small handle decomposition of manifolds. In the Ch.4 we deal with the gradients of Morse functions on cobordisms. Due to the presence of critical points the descent along the trajectories of such gradient does no define in general a continuous map from the upper component of the boundary to the lower one. We show that for C^0-generic gradients there is an algebraic model of "gradient descent map". This is one of the main tools in the proof of the main theorem (Chapter 5). We give also the generalizations of the result for the versions of Novikov complex defined over completions of group rings (non commutative in general).

研究の動機と目的

• 円周値モーレス関数のノヴィコフ複体における境界作用素の一般代数的構造を理解すること。
• C^0位相において一般に、ノヴィコフ複体がローレンツ級数ではなく有理関数の環上に定義されることを確立すること。
• 三角形分割に依存せずに、完全にモース理論的技法を用いた小スケールのハンドル分解を構成すること。
• 臨界点の存在により軌道が連続でないにもかかわらず、コボルディズム上での勾配降下写像の連続的代数的モデルを定義すること。
• 非可換群環の完遂環上でのノヴィコフ複体への結果の一般化すること。

提案手法

• 解析のための勾配型ベクトル場の新クラス（リーマン勾配を含む）を導入する。
• 三角形分割を避けて、完全にモース理論的技法のみを用いて多様体の小スケールハンドル分解を構成する。
• 臨界点を有するコボルディズム上での勾配フローを分析し、標準的な降下写像が連続でない場合を扱う。
• C^0-一般の勾配に対して連続的かつ適切に定義された勾配降下写像の代数的モデルを開発する。
• このモデルを適用して、ノヴィコフ複体の境界作用素が一般に有理関数であることを示す。
• 結果を非可換群環の完遂環上でのノヴィコフ複体へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノヴィコフ複体がローレンツ級数から有理関数に単純化される一般的な条件下では、どのような条件が成立するか？
• RQ2 臨界点を有するコボルディズム上に、勾配降下写像の連続的代数的モデルを構成することは可能か？
• RQ3 三角形分割を用いずに、完全にモース理論的技法のみを用いて多様体の小スケールハンドル分解を構成することは可能か？
• RQ4 C^0-一般の勾配ベクトル場は、ノヴィコフ複体における境界作用素の代数的構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 主な結果を非可換群環完遂環上でのノヴィコフ複体へ一般化することは可能か？

主な発見

• C^0-一般の勾配ベクトル場に対して、ノヴィコフ複体の境界作用素は、ローレンツ級数だけでなく、有理関数の環上に定義される。
• 臨界点の存在にもかかわらず、C^0-一般の勾配に対して、勾配降下写像の代数的モデルは連続的かつ適切に定義される。
• 三角形分割を一切用いずに、完全にモース理論的技法による小スケールハンドル分解の構成が達成された。
• 有理関数の環上でのノヴィコフ複体は、円周値モーレス関数の本質的トポロジー的情報を、より取り扱いやすい代数的形で捉えている。
• 結果は非可換群環の完遂環上でのノヴィコフ複体へ一般化され、より広範な代数的設定への適用可能性が拡張された。
• 証明は、C^0位相において一般に成立する勾配フローの連続的代数的モデルの存在に依存している。