[論文レビュー] $C^0$ stability of boundary actions and inequivalent Anosov flows

Jonathan Bowden, Kathryn Mann|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、コンパクトな負に曲がった多様体の基本群の境界作用について、$C^0$ トポロジカル安定性を確立する。粗い幾何学および力学系の技術を用いて、任意の近くの群作用（ホメオモルフィズムによるもの）が標準的境界作用に準同型であることを証明し、これを用いて、任意に多くの位相的に非同値なAnosovフローを持つ双曲的3次元多様体を構成する。これはKirbyの問題リストにおける疑問を解決する。

ABSTRACT

We give a topological stability result for the action of the fundamental group of a compact manifold of negative curvature on its boundary at infinity: any nearby action of this group by homeomorphisms of the sphere is semi-conjugate to the standard boundary action. Using similar techniques we prove a global rigidity result for the "slithering actions" of 3-manifold groups that come from skew-Anosov flows. As applications, we construct hyperbolic 3-manifolds that admit arbitrarily many topologically inequivalent Anosov flows, answering a question from Kirby's problem list, and also give a more conceptual proof of a theorem of the second author on {\em global} $C^0$--rigidity of geometric surface group actions on the circle.

研究の動機と目的

• コンパクトな負に曲がった多様体 $M$ に対して、$\pi_1M$ の境界作用 $\partial_\infty\widetilde{M}$ におけるトポロジカル安定性を確立すること。
• 3次元多様体におけるスケイ・Anosovフローから生じるスリッタリング作用に関するグローバル剛性結果を証明すること。
• Kirbyの問題を解決するために、任意に多くの位相的に非同値なAnosovフローを許容する双曲的3次元多様体を構成すること。
• 第二著者の $C^0$-剛性定理（円周上での幾何的表面群作用に関する）の概念的証明を提供すること。
• トポロジカル安定性の一般化を、より広いクラスの双曲的群や境界付き、または非リーマン計量を持つ多様体へと探求すること。

提案手法

• 群作用の $C^0$-近さを定義するために、$\mathrm{Hom}(\pi_1M, \mathrm{Homeo}(S^{n-1}))$ 上のコンパクト開位相を用いる。
• 特に準測地線および視覚的境界の性質を用いた粗い幾何学的技法を適用し、摂動された作用の力学的性質を分析する。
• 近接する作用と標準的境界作用との間の準同型写像を用いて、トポロジカルファクタライゼーションを保証する。
• スケイ・Anosovフローの構造とそれに関連するスリッタリング作用の性質を活用し、次元3におけるグローバル剛性を導出する。
• ドゥエン手術および接触Anosovフローの構成を用いて、双曲的3次元多様体上での非同値なフローを生成する。
• 元の境界作用に正則性仮定を課さず、代わりにトポロジカルおよび力学的安定性に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負に曲がった多様体の基本群の境界作用は、球面上での $C^0$-摂動に対してトポロジカルに安定か？
• RQ2 双曲的3次元多様体は、任意に多くの位相的に非同値なAnosovフローを許容するか？（Kirbyの問題への回答）
• RQ3 3次元多様体群のスリッタリング作用について、グローバルな $C^0$-剛性は成立するか？
• RQ4 より高い正則性仮定の下で、近接する作用間の準同型写像を同型写像に改善できるか？
• RQ5 $C^0$-安定性の結果を、リーマン的でない設定における球面境界を持つ双曲的群へ一般化できるか？

主な発見

• $\pi_1M$ の $S^{n-1}$ 上の境界作用は $C^0$ トポロジカルに安定である：十分に近い作用はすべて標準的作用に準同型である。
• 任意の $\mathrm{Homeo}(S^{n-1})$ 内の単位元の近傍 $U$ に対して、$\rho_0$ の近傍 $V$ が存在し、$V$ 内のすべての作用が $U$ 内の写像を介して $\rho_0$ に準同型である。これは強い安定性を示す。
• この論文は、任意に多くの位相的に非同値なAnosovフローを持つ双曲的3次元多様体を構成し、Kirbyの問題に答えている。
• 3次元多様体群のスリッタリング作用のグローバル剛性が確立され、表面群作用の $C^0$-剛性に関する結果が拡張された。
• 著者らは、円周上での幾何的表面群作用に関する $C^0$-剛性定理の新たな概念的証明を提供している。
• 結果として、$C^0$-安定性が、巡回領域を導入する可能性のある摂動に対しても強固であることが示され、トポロジカルファクタライゼーションの強さが強調されている。