[論文レビュー] Three-manifolds, Foliations and Circles, I

William P. Thurston|ArXiv.org|Dec 30, 1997

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 39

ひとこと要約

本稿は、被覆のデッキ変換がファイブレーションを保存するような、3次元多様体の'スリザーリング'という概念を導入する。閉じた双曲的3次元多様体が均一な foliation を持つ場合、その横断的流れは擬・アノソフ的、周期的、または還元可能であり、その安定・不安定ラミネーションは準極大曲線に等長的に延長され、無限遠におけるπ₁(M)-等長的球面埋め込みをなすことが示される。

ABSTRACT

This paper investigates certain foliations of three-manifolds that are hybrids of fibrations over the circle with foliated circle bundles over surfaces: a 3-manifold slithers around the circle when its universal cover fibers over the circle so that deck transformations are bundle automorphisms. Examples include hyperbolic 3-manifolds of every possible homological type. We show that all such foliations admit transverse pseudo-Anosov flows, and that in the universal cover of the hyperbolic cases, the leaves limit to sphere-filling Peano curves. The skew R-covered Anosov foliations of Sergio Fenley are examples. We hope later to use this structure for geometrization of slithered 3-manifolds.

研究の動機と目的

• 閉じた3次元多様体が別の多様体のまわりにスリザーリングするという概念を定義・研究し、特にS¹のまわりのスリザーリングを対象とすること。これはファイブレーションとセイフェルト・ファイブレーション構造の中間的性質を有する。
• 閉じた3次元多様体が均一なfoliationをもつための条件を特定すること。ここで、均一なfoliationとは、リーマン成分を含まず、普遍被覆空間において葉同士が一様に分離されているようなfoliationを意味する。
• 均一なfoliationと擬・アノソフ的、周期的、または還元可能な横断的流れとの間の対応関係を確立し、それらの幾何学的および力学的性質を分析すること。
• スリザーリングと円周上に作用する拡張収束群との関係、特にスケューR-被覆アノソフfoliationの文脈において考察すること。
• これらの構造が、双曲的3次元多様体における幾何的分解予想および仮想ファイブレーション予想に与える影響を検討すること。

提案手法

• スリザーリングを、3次元多様体の正則被覆空間が基底多様体へファイブレーションされるものとして定義する。ここで、デッキ変換がファイブレーション構造を保存する。
• 普遍被覆空間におけるすべての葉が互いに一様に距離を保つように分離されているようなfoliationとして、均一なfoliationの概念を導入する。
• 各均一なfoliationに対して、自然な横断的流れを構成し、位相的および力学的制約により、それが必ず擬・アノソフ的、周期的、または還元可能であることを示す。
• 普遍被覆空間の無限遠における球面の幾何を用いて、均一なfoliationの葉がπ₁(M)-等長的球面埋め込み曲線に連続的に延長されることを示す。
• スケューR-被覆アノソフfoliationと、Homeo(S¹)の普遍被覆空間におけるココンパクト拡張収束群との間の1対1対応を確立する。
• 双曲的葉幾何を持つM×ℝ内の均一な'準フクシアン'foliationの変形理論を分析し、スリザーリング多様体における幾何的分解予想の証明に向けた道筋を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた3次元多様体が均一なfoliationをもつための条件は何か？ これはS¹へのスリザーリングとどのように関係するか？
• RQ2 任意の双曲的3次元多様体は、S¹のまわりにスリザーリングする被覆をもつだろうか？
• RQ3 均一なfoliationに付随する横断的流れの性質は何か？ そして、それが擬・アノソフ的、周期的、または還元可能に分類される根拠は何か？
• RQ4 このような流れの安定・不安定ラミネーションは、準極大曲線幾何および無限遠における球面とどのように関係するか？
• RQ5 S¹へのスリザーリングは、仮想ファイブレーション予想および3次元多様体の幾何的分解の理解に、どの程度の枠組みを提供するか？

主な発見

• 閉じた3次元多様体MがS¹のまわりにスリザーリングするための必要十分条件は、リーマン成分を含まず、普遍被覆空間において葉同士が一様に分離されているような均一なfoliationをもつことである。
• 閉じた3次元多様体上の任意の均一なfoliationは、横断的流れをもつ。その流れは、擬・アノソフ的、周期的、または還元可能である。還元可能な場合、不変な非圧縮可能トーラスおよびクラインボトルが存在する。
• 均一なfoliationをもつ双曲的3次元多様体において、横断的流れの安定・不安定ラミネーションは準極大曲線であり、普遍被覆空間の無限遠におけるπ₁(M)-等長的球面埋め込み曲線に連続的に延長される。
• スケューR-被覆アノソフfoliationは、円周上に作用するココンパクト拡張収束群と完全に一致する。これは古典的収束群の場合を一般化する。
• スリザーリングの構造は、準フクシアンfoliationの変形理論を用いて、スリザーリング多様体における幾何的分解予想の証明への可能性を示唆する。
• 本稿は、任意の双曲的3次元多様体が仮想的にS¹のまわりにスリザーリング可能であり、任意の擬・アノソフ的流れが、横断的foliationをもつ被覆をもつ可能性を示唆している。