[論文レビュー] C*-algebras associated with branched coverings

Valentin Deaconu, Paul S. Muhly|ArXiv.org|Mar 27, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、群体およびCuntz-Pimsner代数の枠組みを用いて、分岐被覆写像からC*-代数を構成する。動的システムが十分にカオス的である場合、例えばリーマン球面上の有理写像で後退軌道が稠密であるような場合、その代数は単純かつ純粋無限的であることを示す。いくつかの例についてK理論を計算し、そのうちの一つはK₀ ≅ ℤ²およびK₁ ≅ ℤを満たす。

ABSTRACT

In this note we analyze the C*-algebra associated with a branched covering both as a groupoid C*-algebra and as a Cuntz-Pimsner algebra. We determine conditions when the algebra is simple and purely infinite. We indicate how to compute the K-theory of several examples, including one related to rational maps on the Riemann sphere.

研究の動機と目的

• 分岐被覆に関連するC*-代数を群体およびCuntz-Pimsner代数の構造を用いて定義・解析すること。
• このC*-代数が単純かつ純粋無限的である条件を特定すること、特にリーマン面における力学系の文脈で。
• 具体的な分岐被覆、例えば有理写像や区間フォールディングに関して、そのC*-代数のK理論を計算すること。
• 部分ホメオモルフィズムおよびCuntz-Pimsner代数に関する先行結果を、分岐被覆の設定に一般化すること。
• 有理写像の力学とその関連するC*-代数の構造的性質との間の関係を確立すること。

提案手法

• Uを正則でない集合とする部分的定義された局所ホメオモルフィズムT = σ|Uから、r-離散群体Γ(X,σ)を構成する。
• C*-代数を群体C*-代数C*(Γ)として定義し、A = C₀(X)、E = C₀(U)であるC*-対応(A,E)上の拡張されたCuntz-Pimsner代数と同型であることを示す。
• 右A加群構造を(ξf)(x) = ξ(x)f(σ(x))および内積⟨ξ,η⟩(x) = ∑_{σ(y)=x} ξ̄(y)η(y)により定義する。
• 位置コサイクルc: Γ → ℤを用いて、コア代数C*(R₀) = C*(Γ₀)を定義する。ここでΓ₀はcの核である。
• I ≅ C₀(U ∩ σ(U))を用いた短完全列0 → I → C*(X,σ) → C*(R₀) → 0を用い、六項完全列によりK理論を計算する。
• 後退軌道の稠密性やジュリア集合の最小性といった力学的性質を活用し、単純性および純粋無限性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐被覆に関連するC*-代数が単純かつ純粋無限的であるための力学的条件は何か？
• RQ2 群体およびCuntz-Pimsner構成を用いて、分岐被覆から生じるC*-代数のK理論をどのように計算できるか？
• RQ3 特異集合の性質と写像σの力学的性質が、関連するC*-代数の構造に及ぼす影響はどの程度か？
• RQ4 Cuntz-Pimsner代数の枠組みは、写像が部分的ホメオモルフィズムでない場合でも、一般の分岐被覆に適用可能か？
• RQ5 リーマン球面上の有理写像に関連するC*-代数のK理論は何か、特にジュリア集合が全球に一致する場合。

主な発見

• 区間[0,1]から自身へのフォールディング写像σ: [0,1] → [0,1]に関連するC*-代数は、I ≅ C₀([0,1/2) ∪ (1/2,1))を含む完全列により、K₀ ≅ ℤ²およびK₁ ≅ 0を満たす。
• リーマン球面上の有理写像q(z) = ((z²+1)²)/(4z(z²−1))に関して、写像が命題3.6および3.7の仮定を満たすため、C*-代数は単純かつ純粋無限的である。
• 理想I ≅ C₀(𝕊² ∖ {±i, ±(√2±1), 0, ±1})のK理論は、六項完全列および準同型j*に基づき、K₀(I) ≅ ℤおよびK₁(I) ≅ ℤ⁸である。
• 円周被覆σ: ℝ → 𝕊¹に関連するC*-代数は、K₀ ≅ ℤ²およびK₁ ≅ ℤを満たす。K₁列におけるゼロ写像は、ℤ上の恒等写像から恒等写像を引いたものに由来する。
• すべての軌道が稠密である場合、C*-代数は単純である。これはℝ → 𝕊¹の例に見られるように、非自明なイデアルが存在しないことと関連している。
• この構成は、部分的ホメオモルフィズムに関する先行結果を一般化し、特異集合が空である場合、ExelやCuntz-Pimsnerの既知の例を回復する。