[論文レビュー] C*-algebras associated with integral domains and crossed products by actions on adele spaces

Joachim Cuntz, Xin Li|ArXiv.org|Jun 26, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、数体に付随するC*-代数について、有限アデール空間および無限アデール空間上のクロスダクト積が同型であることを示す双対性定理を確立する。この双対性を用いて、数体の整数環に付随する環C*-代数のK理論を計算し、それが乗法的群のねじれのない部分群上の外積代数と同型であり、実埋め込みの数が偶数で2以上である場合にはZ/2Zのねじれが付加されることを示す。

ABSTRACT

We compute the K-theory for C*-algebras naturally associated with rings of integers in number fields. The main ingredient is a duality theorem for arbitrary global fields. It allows us to identify the crossed product arising from affine transformations on the finite adeles with the analogous crossed product algebra over the infinite adele space.

研究の動機と目的

• 整数および一般の数体に付随するC*-代数のK理論に関する以前の予想結果の完全な証明を提供すること。
• 任意の一般体に対して、有限アデール空間および無限アデール空間上のクロスダクト積の一般双対性定理を確立すること。
• 根の単位根に関する特定の条件下で、数体の整数環に付随する環C*-代数のK理論を計算すること。
• ねじれ単位元を除いた環C*-代数の部分代数のK理論を、乗法的群の観点から明確に特定すること。
• 全アデール空間上の全クロスダクト積がax+b群の群C*-代数とモリタ同値であることを示し、K理論の計算を群代数の手法で行えるようにすること。

提案手法

• 有限アデール空間 $ \mathbb{A}_f $ および無限アデール空間 $ \mathbb{A}_\infty $ に対して、一般体 $ K $ 上のax+b群 $ P_K $ による $ C_0(\mathbb{A}_f) \rtimes P_K $ と $ C_0(\mathbb{A}_\infty) \rtimes P_K $ の間の双対性同型を証明する。
• 双対性を用いて、完全に不連結な有限アデール空間におけるK理論の計算を、ホモトピー論的手法が適用可能な連結な無限アデール空間に移す。
• Pimsner-Voiculescuの完全系列を繰り返し適用し、$ \mu \times \Gamma_m' $ の作用を含むクロスダクト積の $ K_* $ を計算する。ここで $ \mu $ は単位根の群を表す。
• 初等因子定理と、K理論上の誘導写像が $ \beta_*^2 = \text{id} $ を満たすという事実を用いて、特に $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $-ねじれのK理論的構造を分析する。
• $ C_0(\mathbb{A}) \rtimes P_K \sim_M C^*(P_K) $、すなわちax+b群の群C*-代数と、乗法的作用に関して等変モリタ同値であることを確立する。
• このモリタ同値性を活用し、$ K = \mathbb{Q} $ の場合に全クロスダクト積の $ K_* $ を $ K_0(C^*(\{\pm1\})) \otimes_\mathbb{Z} \Lambda^*(\mathbb{Q}_{>0}) $ として計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体 $ K $ の整数環 $ \mathcal{O} $ に付随するC*-代数 $ \mathfrak{A}[\mathcal{O}] $ のK理論は何か。特に、$ K $ に $ \pm1 $ のみが単位根である場合に。
• RQ2 有限および無限アデール空間上のクロスダクト積の間の双対性は、K理論的計算をどのように支援するか。
• RQ3 $ \mathfrak{A}[\mathcal{O}] $ の加法的および乗法的作用素（単位根を除く）によって生成される部分代数のK理論は、$ K $ の乗法的群を用いて記述可能か。
• RQ4 全アデール空間上のクロスダクト積 $ C_0(\mathbb{A}) \rtimes P_K $ と群C*-代数 $ C^*(P_K) $ の間の関係は何か。
• RQ5 $ \mathfrak{A}[\mathcal{O}] $ のK理論は、$ K $ のクラス数といった算術的不変量を含んでいるか。そうでない場合、このような不変量を回復するためには、どのようなより細かい代数的構造が必要か。

主な発見

• 数体 $ K $ において $ \pm1 $ のみが単位根である場合、$ \mathfrak{A}[\mathcal{O}] $ のK理論は $ \Lambda^*(\Gamma) \oplus (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_\mathbb{Z} \Lambda^*(\Gamma)) $ に同型であり、ここで $ \Gamma $ は $ K^\times $ のねじれのない部分群であり、$ K $ に2つ以上の実埋め込みがある場合に $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $-ねじれが現れる。
• 単位根を除いた $ \mathfrak{A}[\mathcal{O}] $ の部分代数のK理論は $ \Lambda^*(\Gamma) \oplus (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_\mathbb{Z} \Lambda^*(\Gamma)) $ に同型であり、ここで $ \Gamma $ は $ K^\times $ のねじれのない部分群であり、$ K $ の実埋め込みの数が偶数で2以上である場合にのみ $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $-因子が現れる。
• $ C_0(\mathbb{A}_\infty) \rtimes P_K $ は、モリタ同値の意味で $ \mathfrak{A}[\mathcal{O}] $ と同型であり、K理論の計算にホモトピー論的手法を適用可能にする。
• $ C_0(\mathbb{A}) \rtimes P_K $ は、群C*-代数 $ C^*(P_K) $ とモリタ同値であり、この同値性は乗法的作用に関して等変である。
• $ K = \mathbb{Q} $ の場合、$ C^*(P_K) $ のK理論は $ K_0(C^*(\{\pm1\})) \otimes_\mathbb{Z} \Lambda^*(\mathbb{Q}_{>0}) $ に等しく、正の有理数上の外積代数と関連している。
• $ \mathfrak{A}[\mathcal{O}] $ のK理論には $ K $ のクラス数に関する情報が含まれていないため、このような不変量を回復するには、$ \mathfrak{A}[\mathcal{O}] $ 内部のより細かい代数的構造が必要である。