[論文レビュー] C^*-algebras associated with self-similar sets

Tsuyoshi Kajiwara, Yasuo Watatani|ArXiv.org|Dec 29, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、自己相似コン pact 集合 $K$ 上の適切な収縮写像の系 $\gamma = (\gamma_1, \dots, \gamma_N)$ から、ヒルベルト双加法的 $X = C({\mathcal{G}})$ 上の Cuntz-Pimsner 構成を用いて C*-代数 ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ を構成する。ここで ${\mathcal{G}}$ は各 $\gamma_i$ のコグラフの和集合である。主な結果として、系が開集合条件を満たすならば、${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ は単純かつ純粋無限的であり、一般には Cuntz 代数とは同型でない。また、$K_0$-理論によりねじれのない元が検出可能である。

ABSTRACT

Let $γ= (γ_1,...,γ_N)$, $N \geq 2$, be a system of proper contractions on a complete metric space. Then there exists a unique self-similar non-empty compact subset $K$. We consider the union ${\mathcal G} = \cup_{i=1}^N \{(x,y) \in K^2 ; x = γ_i(y)\}$ of the cographs of γ_i$. Then $X = C({\mathcal G})$ is a Hilbert bimodule over $A = C(K)$. We associate a $C^*$-algebra ${\mathcal O}_γ(K)$ with them as a Cuntz-Pimsner algebra ${\mathcal O}_X$. We show that if a system of proper contractions satisfies the open set condition in $K$, then the $C^*$-algebra ${\mathcal O}_γ(K)$ is simple and purely infinite, which is not isomorphic to a Cuntz algebra in general.

研究の動機と目的

• 自己相似集合 $K$ 上の適切な収縮写像の系 $\gamma_i$ に関連する C*-代数を、cograph の直和を用いる際の情報損失を避けるために構成すること。
• その結果得られる C*-代数 ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ が一般には Cuntz 代数と同型でないことを、$K$-理論の分析により示すこと。
• 開集合条件が満たされる場合、${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ が単純かつ純粋無限的であることを確立し、Julia 集や有理写像に関する既知の結果を一般化すること。
• 分岐点と非単射符号化の役割を、グラフ ${\mathcal{G}}$ の構造を通じて $K$-理論の観点から明確にすること。

提案手法

• 収縮写像 $\gamma_i$ のコグラフの和集合として ${{\mathcal{G}} = \bigcup_{i=1}^N \{(x,y) \in K^2 \mid x = \gamma_i(y)\}}$ を定義し、これを位相的グラフとする。
• $A = C(K)$ に $\beta_i(a)(y) = a(\gamma_i(y))$ で定まる自己準同型 $\beta_i$ を導入し、$X = C({\mathcal{G}})$ をヒルベルト $A$-双加法的に仕立てる。
• 生成関係 $aS_i = S_i \beta_i(a)$ を満たす部分等長作用素と $A$ から生成される普遍 C*-代数として、Cuntz-Pimsner 代数 ${\mathcal{O}}_X = {\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ を構成する。
• 開集合条件を用いて、理想構造の直接的解析と、有限次元表現の不在を示すことにより、${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ が単純かつ純粋無限的であることを証明する。
• 既知の代数との関係を示す：$\gamma_i$ が有理写像 $R$ の逆分岐写像であるとき、${\mathcal{O}}_{\gamma}(K) \cong {\mathcal{O}}_R(J_R)$ となる。
• $K_0({\mathcal{O}}_{\gamma}(K))$ にねじれのない元が存在することを示し、これにより ${\mathcal{O}}_N$ のような Cuntz 代数とは区別可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己相似集合 $K$ と収縮写像の系 $\gamma_i$ に対して、C*-代数 ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ が単純かつ純粋無限的であるための条件は何か？
• RQ2 直和ではなく cograph の和集合 ${\mathcal{G}}$ を選ぶことで、標準的な Cuntz 代数構成と比較して、得られる C*-代数の構造にどのような影響があるか？
• RQ3 ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ の $K$-理論が、Cuntz 代数とは同型でないことを検出できるか。特に $K_0$ にねじれのない元が存在するかどうかが鍵となる。
• RQ4 ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ と有理写像 $R$ の Julia 集 $J_R$ に関連する C*-代数 ${\mathcal{O}}_R(J_R)$ の関係は何か？
• RQ5 標準的な構成では cograph の直和を用いるため Cuntz 代数が得られるが、なぜ和集合を用いる構成では同型でない純粋無限的代数が得られるのか？

主な発見

• 収縮写像の系が $K$ で開集合条件を満たすならば、${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ は単純かつ純粋無限的である。これは理想構造の直接的解析により証明された。
• ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ は一般には Cuntz 代数と同型でない。これは $K_0({\mathcal{O}}_{\gamma}(K))$ にねじれのない元が存在するのに対し、${\mathcal{O}}_N$ の $K_0$ はねじれのないことから明らかである。
• シエルピンスキーのギャスケットに対して、標準的な収縮写像 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ は ${\mathcal{O}}_{(\gamma_i)}(K) \cong {\mathcal{O}}_3$ を与えるが、写像を変換して逆分岐写像とするようにした後は、${\mathcal{O}}_{(\tilde{\gamma}_i)}(K)$ は純粋無限的で単純であり、${\mathcal{O}}_3$ とは同型でない。このとき $K_0$ にねじれのない元が存在する。
• シエルピンスキーのカーペットに対して、標準的な系 $\gamma_1, \dots, \gamma_8$ は ${\mathcal{O}}_{(\gamma_i)}(K) \cong {\mathcal{O}}_8$ を与えるが、逆分岐写像となるように変更した後は、${\mathcal{O}}_{(\gamma_i')} (K)$ の $K_0$ は $\mathbb{Z}^4$ に同型となり、${\mathcal{O}}_8$ とは同型でないことが示された。
• この構成により既知の代数が回復される：$\gamma_i$ が有理写像 $R$ の逆分岐写像であるとき、${\mathcal{O}}_{\gamma}(K) \cong {\mathcal{O}}_R(J_R)$ となる。これにより理論は Julia 集や有理写像の力学系と結びつく。
• ${\mathcal{O}}_{\gamma}(K)$ の $K$-理論は符号化写像の単射性の欠如を反映する：$K_0$ は分岐点と非単射行動を検出可能であり、考察した例では $K_1({\mathcal{O}}_{\gamma}(K)) = 0$ である。