[論文レビュー] $C^*$-algebras associated with textile dynamical systems

Kengo Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、2つの可換な $C^*$-符号的力学系を指定写像 $\kappa$ を通じて結合することにより、$C^*$-符号的力学系の高次元一般化として $C^*$-テクスタイル力学系を導入する。これらの系から普遍的 $C^*$-代数 ${\cal O}^\kappa_{\rho,\eta}$ を構成し、非可約性の下でその自由性と単純性を確立し、K-理論を Künneth 公式を用いて導出し、両成分が自由である場合には ${\cal O}_\rho \otimes {\cal O}_\eta$ と同型であることを示す。

ABSTRACT

A $C^*$-symbolic dynamical system $({\cal A}, ρ, Σ)$ is a finite family $\{ρ_α\}_{α\inΣ}$ of endomorphisms of a $C^*$-algebra ${\cal A}$ with some conditions. It yields a $C^*$-algebra ${\cal O}_ρ$ from an associated Hilbert $C^*$-bimodule. In this paper, we will extend the notion of $C^*$-symbolic dynamical system to $C^*$-textile dynamical system $({\cal A}, ρ, η, {Σ^ρ}, {Σ^η}, κ)$ which consists of two $C^*$-symbolic dynamical systems $({\cal A}, ρ, {Σ^ρ})$ and $({\cal A}, η, {Σ^η})$ with certain commutation relations $κ$ between their endomorphisms $\{ρ_α\}_{α\in Σ^ρ}$ and $\{η_a \}_{a \in Σ^η}$. $C^*$-textile dynamical systems yield two-dimensional subshifts and $C^*$-algebras ${\cal O}^κ_{ρ,η}$. We will study the structure of the algebras ${\cal O}^κ_{ρ,η}$ and present its K-theory formulae.

研究の動機と目的

• 2つの可換な自己準同型族を用いて、$C^*$-符号的力学系を2次元的枠組みへ一般化すること。
• テクスタイル系を用いて2次元タイル張りをモデル化し、系から普遍的 $C^*$-代数 ${\cal O}^\kappa_{\rho,\eta}$ を定義すること。
• 得られる $C^*$-代数が単純であるか、より単純な代数のテンソル積と同型であるための条件を確立すること。
• 2つの $C^*$-代数のテンソル積の Künneth 公式を用いて、${\cal O}^\kappa_{\rho,\eta}$ の K-理論を計算すること。

提案手法

• 2つの $C^*$-符号的力学系に、$\kappa(\alpha,b) = (a,\beta)$ のとき $\eta_b \circ \rho_\alpha = \rho_\beta \circ \eta_a$ を満たす双対写像 $\kappa$ を導入することで、$C^*$-テクスタイル力学系 $({\cal A}, \rho, \eta, \Sigma^\rho, \Sigma^\eta, \kappa)$ を定義する。
• ${\cal A}$ の元と部分等長射 $S_\alpha, T_a$ から生成される普遍的 $C^*$-代数 ${\cal O}^\kappa_{\rho,\eta}$ を構成し、関係 $(\rho,\eta;\kappa)$ を満たすものとする。これには、直交射影と自己準同型との整合性が含まれる。
• ヒルベルト $C^*$-双加群の Pimsner 構成を用いて、個々の符号的系から ${\cal O}_\rho$ と ${\cal O}_\eta$ を実現する。
• 代数と自己準同型を結合して、テンソル積系 $(\bar{{\cal A}}, \bar{\rho}, \bar{\eta}, \Sigma^{\bar{\rho}}, \Sigma^{\bar{\eta}}, \bar{\kappa})$ を定義し、成分が自由であるときのその自由性を証明する。
• 両方の $({\cal A}^\rho, \rho, \Sigma^\rho)$ と $({\cal A}^\eta, \eta, \Sigma^\eta)$ が自由である場合には、同型 ${\cal O}^\kappa_{\rho,\eta} \cong {\cal O}_\rho \otimes {\cal O}_\eta$ を確立する。
• K-理論 $K_*({\cal O}^\kappa_{\rho,\eta})$ を、$K_*({\cal O}_\rho) \otimes K_*({\cal O}_\eta)$ に Künneth 公式を適用することで計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C^*$-テクスタイル力学系に付随する $C^*$-代数 ${\cal O}^\kappa_{\rho,\eta}$ がテンソル積 ${\cal O}_\rho \otimes {\cal O}_\eta$ と同型となる条件は何か？
• RQ2 指定写像 $\kappa$ は、$C^*$-テクスタイル系において自己準同型 $\rho_\alpha$ と $\eta_a$ 間の可換性をどのように強制するか？
• RQ3 ${\cal O}^\kappa_{\rho,\eta}$ が単純であるための必要十分条件は何か？
• RQ4 ${\cal O}^\kappa_{\rho,\eta}$ の K-理論は、成分代数 ${\cal O}_\rho$ と ${\cal O}_\eta$ の K-理論をどのように表すか？
• RQ5 個々の $C^*$-符号的系が自由であることは、テンソル積 $C^*$-テクスタイル系の自由性を示唆するか？

主な発見

• 両方の $({\cal A}^\rho, \rho, \Sigma^\rho)$ と $({\cal A}^\eta, \eta, \Sigma^\eta)$ が自由であるとき、$C^*$-代数 ${\cal O}^\kappa_{\rho,\eta}$ はテンソル積 ${\cal O}_\rho \otimes {\cal O}_\eta$ と同型である。
• 両成分系が非可約である場合、${\cal O}^\kappa_{\rho,\eta}$ は単純である。
• 元の系が自由である限り、テンソル積系 $(\bar{{\cal A}}, \bar{\rho}, \bar{\eta}, \Sigma^{\bar{\rho}}, \Sigma^{\bar{\eta}}, \bar{\kappa})$ は自由である。
• K-理論群 $K_*({\cal O}^\kappa_{\rho,\eta})$ は、$K_*({\cal O}_\rho) \otimes K_*({\cal O}_\eta)$ に Künneth 公式を適用することで計算される。
• 構成により、テクスタイル系を通じて2次元タイル張り構造が得られ、これは Wang タイルの一般化である。
• 指定写像 $\kappa$ は、2つの自己準同型族間の整合的な可換性を保証し、系の代数的・力学的構造を可能にする。