[論文レビュー] $C^*$-algebras of $b$-pseudodifferential operators and an $\R^k$-equivariant index theorem

Richard Melrose, Victor Nistor|ArXiv.org|Oct 23, 1996

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コーナーを持つ多様体上のb擬微分作用素に関連するC*-代数のK理論的不変量を確立し、R^k作用に関して不変な作用素に対してR^k-等変インデックス定理を証明する。これらの結果はη不変量と結びつけられ、群の対称性を有する特異的空間におけるインデックス理論のK理論的枠組みが提供される。

ABSTRACT

We compute $K$-theory invariants of algebras of pseudodifferential operators on manifolds with corners and prove an equivariant index theorem for operators invariant with respect to an action of $\R^k.$ We discuss the relation between our results and the $η$-invariant.

研究の動機と目的

• コーナーを持つ多様体上のb擬微分作用素のC*-代数のK理論的不変量を計算すること。
• R^k群作用に関して不変な作用素に対するR^k-等変インデックス定理を構築すること。
• 導来K理論的不変量とインデックス理論におけるη不変量の間の関係を明確にすること。
• 境界およびコーナー構造を有する特異的幾何的設定へのインデックス理論の拡張すること。
• 非コンパクトまたはストラティファイド空間における等変インデックス問題の関数解析的かつK理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 記号的計算と作用素ノルムを用いて、コーナーを持つ多様体上のb擬微分作用素のC*-代数を構成する。
• K理論的手法を用いて、関連するC*-代数のK群を計算し、境界およびコーナーの層の構造に注目する。
• 多様体上のR^kの作用を用いて、作用素代数へのR^k-等変構造を定義する。
• 交差積C*-代数のK理論から軌道空間のK理論への位相的インデックス写像を確立する。
• K理論的同型を介して解析的インデックスと位相的インデックスを関連させることで、等変インデックス定理を証明する。
• 非コンパクトな設定におけるスペクトル非対称性とゼータ正則化トレースを用いて、η不変量をインデックス公式と関係付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コーナーを持つ多様体上のb擬微分作用素のC*-代数のK理論的不変量は何か？
• RQ2 b擬微分作用素に対してR^k-等変インデックス定理をどのように定式化し、証明できるか？
• RQ3 η不変量とR^k不変b擬微分作用素のインデックスの正確な関係は何か？
• RQ4 コーナーおよび境界の存在が、擬微分作用素のK理論およびインデックス理論にどのように影響するか？
• RQ5 R^k不変作用素の解析的インデックスは、交差積のK理論における位相的不変量を用いて計算可能か？

主な発見

• コーナーを持つ多様体上のb擬微分作用素のC*-代数のK理論は、境界およびコーナーの層のK理論を用いて記述される。
• R^k-等変インデックス定理が確立され、R^k不変b擬微分作用素の解析的インデックスが、交差積代数のK理論における位相的インデックスに等しいことが示された。
• η不変量は、非コンパクトな設定におけるスペクトル非対称性を反映する補正項として自然に現れる。
• インデックス定理は、古典的なアティヤ＝シンガーのインデックス定理を、コーナーを持つ多様体および非コンパクト群作用の設定に一般化する。
• K理論の計算により、多様体のストラティファイド構造を捉えるMayer-Vietoris型の完全系列が明らかになった。
• 結果は、等変設定における解析的インデックスと位相的インデックスの差として、η不変量のK理論的解釈を提供する。