[論文レビュー] C*-algebras of Toeplitz type associated with algebraic number fields

Joachim Cuntz, Christopher Deninger+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、数体における代数的整数環 $R$ と関連する $C^*$-代数 $\mathfrak{T}[R]$ を、$ax+b$-半群 $R\rtimes R^\times$ の左正則表現を用いて構成する。自然な1パrameter自己同型群 $\sigma_t$ を確立し、KMS状態構造を完全に特徴づけ、非自明な類群が存在するにもかかわらず $\beta \in (1,2]$ に対して $\beta$-KMS状態が一意であることを証明する。類群の影響によりKMS単体は理想類ごとに分裂し、部分的Dedekindゼータ関数が分配関数として機能する。

ABSTRACT

We associate with the ring $R$ of algebraic integers in a number field a C*-algebra $\cT[R]$. It is an extension of the ring C*-algebra $\cA[R]$ studied previously by the first named author in collaboration with X.Li. In contrast to $\cA[R]$, it is functorial under homomorphisms of rings. It can also be defined using the left regular representation of the $ax+b$-semigroup $R times R^ imes$ on $\ell^2 (R times R^ imes)$. The algebra $\cT[R]$ carries a natural one-parameter automorphism group $(σ_t)_{t\in\Rz}$. We determine its KMS-structure. The technical difficulties that we encounter are due to the presence of the class group in the case where $R$ is not a principal ideal domain. In that case, for a fixed large inverse temperature, the simplex of KMS-states splits over the class group. The "partition functions" are partial Dedekind $ζ$-functions. We prove a result characterizing the asymptotic behavior of quotients of such partial $ζ$-functions, which we then use to show uniqueness of the $β$-KMS state for each inverse temperature $β\in(1,2]$.

研究の動機と目的

• $\mathfrak{T}[R]$ を $\ell^2(R\rtimes R^\times)$ 上の $ax+b$-半群 $R\rtimes R^\times$ の左正則表現から構成し、$\mathfrak{A}[R]$ を一般化する。
• 環準同型に関して $\mathfrak{T}[R]$ の関手的性質を確立する。これは $\mathfrak{A}[R]$ が満たさない性質である。
• $R$ が非主イデアル整域の場合にあたっても、自然な1パラメータ自己同型群 $\sigma_t$ に対する $\mathfrak{T}[R]$ のKMS状態構造を解析する。特に、$R$ が非自明な類群を持つ場合を扱う。
• $\beta \in (1,2]$ に対して $\beta$-KMS状態の一意性を、部分的Dedekindゼータ関数の漸近的解析を用いて証明する。

提案手法

• 単位元 $u^x$ と等長作用素 $s_a$ を満たすユニタリと等長作用素から生成される普遍 $C^*$-代数として $\mathfrak{T}[R]$ を定義する。関係式は $s_a u^x = u^{ax} s_a$ および $\sum_{x \in R/aR} u^x s_a s_a^* u^{-x} \leq 1$ である。
• 主イデアル整域でない場合に対応するため、イデアル $I$ に付随する追加の射影 $e_I$ を導入し、等長作用素の像射影間の関係を適切に保証する。
• 非ゼロイデアル $I$ を通じた $\bigsqcup R/I$ の完成として得られる、$Y_R$ と表されるGelfandスペクトルを持つ可換な最大部分代数を構成する。この構成は環の単位射に関して反変的である。
• 半群表現におけるゲージ作用を用いて、$\mathfrak{T}[R]$ 上に1パラメータ自己同型群 $\sigma_t$ を定義する。これはBost-Connes系に類似している。
• KMS状態の分配関数として、理想類 $\gamma$ でインデックスされた部分的Dedekindゼータ関数 $\zeta^{(n)}_\gamma(s)$ を用いる。
• 部分和の部分和の和分法と数体における素イデアル定理を用いて、$\Omega_\gamma(x) = \sum_{N(P)\leq x, P\in\gamma} N(P)^{-\kappa}$ の漸近展開を導出し、$\lim_{n\to\infty} \zeta^{(n)}_\gamma(\sigma)/\zeta^{(n)}_\eta(\sigma) = 1$ （すべての理想類 $\gamma, \eta$ に対して）という重要な極限を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環準同型に関して関手的である $C^*$-代数を、$ax+b$-半群 $R\rtimes R^\times$ からどのように構成できるか？
• RQ2 $R$ がPIDでない場合に、自然な1パラメータ自己同型群に対する $\mathfrak{T}[R]$ のKMS状態構造はどのようなものか？
• RQ3 $R$ の類群はKMS単体の分解にどのように影響するか？
• RQ4 異なる理想類に付随する部分的Dedekindゼータ関数の商の漸近的挙動はどのようなものか？
• RQ5 非PIDの場合に $\beta \in (1,2]$ に対して $\beta$-KMS状態は一意か？

主な発見

• $\mathfrak{T}[R]$ は、イデアル射影を含む表現のおかげで、$\mathfrak{A}[R]$ とは異なり、環準同型に関して関手的である。
• $\mathfrak{T}[R]$ の最大可換部分代数のGelfandスペクトル $Y_R$ は $\bigsqcup R/I$ の完成として得られ、$R \mapsto Y_R$ の写像は環の単位射に関して反変的である。
• $\beta \in (1,2]$ の場合、$R$ が非自明な類群を持つ場合であっても、$\mathfrak{T}[R]$ 上の $\beta$-KMS状態は一意である。
• $\beta > 2$ の場合、KMS単体は類群ごとに分裂し、分配関数は部分的Dedekindゼータ関数 $\zeta^{(n)}_\gamma(s)$ で与えられる。
• すべての理想類 $\gamma, \eta$ に対して、漸近比 $\lim_{n\to\infty} \zeta^{(n)}_\gamma(\sigma)/\zeta^{(n)}_\eta(\sigma) = 1$ が成り立つ。これは、正規化された分配関数が一様に収束することを意味する。
• 証明は、固定された理想類内の素イデアルに関する素数定理（誤差項 $O(x/\log^2 x)$ を伴う）と、和分法を用いて、$\kappa < 1$ の場合に $\Omega_\gamma(x) \sim \frac{1}{h} \frac{x^{1-\kappa}}{\log x} + \frac{\kappa}{h} \int_2^x \frac{t^{-\kappa}}{\log t} dt + O\left(\frac{x^{1-\kappa}}{\log^2 x}\right)$ を導出することに依存する。