[論文レビュー] C*-bundle dynamical systems

Rachel A. D. Martins|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、C*-バンドルの空間的自己同型と基底多様体上の1パラメータ微分同相群の間の関係を捉える枠組みとして、C*-バンドル力学系を導入する。C*-部分C*-代数の研究に有用な、群oids 2-コホモロジーと類似した形で表現される埋め込み不変量を構成し、量子重力や非可換幾何学への応用が期待される新しい代数的構造を提示する。

ABSTRACT

C*-bundle dynamical systems are introduced and their rôle within the theory of C*-subalgebras and Fell bundles is investigated. A C*-bundle dynamical system involves an action of a 1-parameter group of "spatial automorphisms" of the C*-bundle together with a notion of covariance with respect to the diffeomorphisms of the base manifold, and turns out to define a class of examples of Arveson's $A$-dynamical systems. An embedding invariant for non-commutative C*-subalgebras (equivalent to a groupoid 2-cocycle by construction) emerges and has presentation analogous to a partition function towards a potential algebraic formulation of quantum gravity.

研究の動機と目的

• C*-バンドルの空間的自己同型と基底多様体の微分同相群を統合する力学系の枠組みを構築すること。
• 非可換C*-部分代数の埋め込みを特徴付ける、新しい不変量を用いて、より大きなC*-代数内での埋め込みを記述すること。
• C*-バンドルドynamics、Fellバンドル、およびArvesonのA-力学系との関係を確立すること。
• 量子重力、代数的量子場理論、スぺクトル幾何学における物理的応用を探索すること。
• 主群oids に基づくFellバンドルと、対角C*-部分代数構造との間の橋渡しを、力学系を介して行うこと。

提案手法

• 局所コンpakな基底空間上のC*-バンドルに作用する1パラメータ群の空間的自己同型を用いて、C*-バンドルドynamicsを定義する。
• 基底多様体の微分同相群に関する共変性を定義し、力学系と幾何的流れを結びつける。
• Fellバンドル構造から導かれる射影と等長写像の有限線形結合として、埋め込み不変量Φ→を構成する。
• Φ→が群oids 2-コホモロジー ω: G_ep × G_ep → ⊕i=1^n ℂ と同値であることを示し、埋め込みのコホモロジー的特徴付けを提供する。
• Hilbert空間 L²(E) を用いて、忠実な条件付き期待値 P: B → A を定義し、一意な確率測度が存在する場合に P(b) = ∫αg(b)dx と表される。
• 力学系を群oids のユニタリ表現およびKumjianの正規化子と関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-バンドルドynamicsを、空間的自己同型と基底多様体の微分同相群の両方を組み込む形でどのように定義できるか。
• RQ2 Fellバンドルの文脈において、埋め込み不変量Φ→と群oids 2-コホモロジーωの正確な関係は何か。
• RQ3 不変量Φ→が分配関数に類似しているのはどのような点か。この類似性は、量子重力の代数的定式化を示唆するか。
• RQ4 C*-バンドルドynamicsが、Fellバンドル (E,π,G) と対角部分代数をもつCartan対 (A,B) の間の包摂構造としてどのように機能するか。
• RQ5 この枠組みは、代数的量子場理論におけるPoincaré共変性およびスぺクトル三重体におけるDirac作用素にどのような意味を持つのか。

主な発見

• 埋め込み不変量Φ→は、Fellバンドル構造に付随する射影と等長写像の有限和として構成され、具体的には Φ→ = {∑Y px u(p_x,p_y) py | px,py ∈ Y ⊂ {e_xy, e_xy e_xy*} ≅ G_ep } と表される。
• Φ→が群oids 2-コホモロジー ω: G_ep × G_ep → ⊕i=1^n ℂ と同値であることが示され、C*-部分代数の埋め込みのコホモロジー的分類が得られる。
• E⁰が局所自明なバナッハバンドルであるとき、純粋状態空間には一意な確率測度が存在し、これにより条件付き期待値 P: B → A が一意に定まり、P(b) = ∫αg(b)dx と表される。
• 有限次元の場合、条件付き期待値は P(b) = ∑i p_i b p_i に簡略化され、PはC*(E) → C*(E⁰) の制限写像と一致する。
• この系は、ArvesonのA-力学系と同値なC*-力学系を実現しており、1パラメータ自己同型群は基底多様体の微分同相群から引き上げられる。
• この構成により、本質的に主群oids 上のFellバンドルと対角C*-部分代数の間の橋渡しがなされ、群oids が主群oids であるとき、A = C*(E⁰) はB = C*(E) のC*-対角となる。