[論文レビュー] Calculation of Minimum Spanning Tree Edges Lengths using Gromov--Hausdorff Distance

Alexey Avgustinovich Tuzhilin|arXiv (Cornell University)|May 5, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有限距離空間における最小全域木（MST）の辺長さと、直径が大きな単体へのGromov–Hausdorff距離との間で、新しい関係を確立する。同定された最小最大化公式は、固有値計算に類似しており、MST長、Steiner最小木長、最小埋め込み長の正確な公式を、Gromov–Hausdorff距離の最適化を通じて導出する。

ABSTRACT

In the present paper we show how one can calculate the lengths of edges of a minimum spanning tree constructed for a finite metric space, in terms of the Gromov-Hausdorff distances from this space to simplices of sufficiently large diameter. Here by simplices we mean finite metric spaces all of whose nonzero distances are the same. As an application, we reduce the problems of finding a Steiner minimal tree length or a minimal filling length to maximization of the total distance to some finite number of simplices considered as points of the Gromov-Hausdorff space.

研究の動機と目的

• 有限距離空間における最小全域木（MST）の辺長さと、単体へのGromov–Hausdorff距離との間の数学的関係を確立すること。
• Gromov–Hausdorff距離を用いたMST、Steiner最小木（SMT）、最小埋め込み（MF）長のための新しい計算フレームワークを提供すること。
• これらの幾何的最適化問題が、Gromov–Hausdorff空間における単体点の有限集合への全距離の最大化問題に還元可能であることを示すこと。
• 自己随伴作用素のスペクトル理論に類似した最小最大化原理を、MST辺長さに対して形式化すること。
• 入力点集合を含む埋込または上位構造を最適化することにより、SMTおよびMF長の計算フレームワークを拡張すること。

提案手法

• 直径1の単体 $ \triangle_{k+1} $ と有限距離空間 $ X $ の間のGromov–Hausdorff距離 $ d_{GH}(X, \triangle_{k+1}) $ を用いる。
• 対応に関する歪み公式を適用：$ d_{GH}(X,Y) = \frac{1}{2} \inf_R \operatorname{dis}(R) $、ここで $ R $ は $ X $ と $ \triangle_{k+1} $ 間の対応を走査する。
• 最適対応 $ R \in \mathcal{R}_{\text{opt}}(\triangle_{k+1}, X) $ を特徴づけ、$ X $ の分割 $ \{X_1, \dots, X_{k+1}\} $ を誘導し、$ \operatorname{dis}(R) = 1 - \alpha(\{X_i\}) $ を得る。
• $ 2d_{GH}(\triangle_{k+1}, X) = 1 - \sigma_k $ を導出する。ここで $ \sigma_k $ は、$ X $ のすべての $ (k+1) $ 分割における最大クラスタ間距離である。
• 単体をスケーリングして $ \lambda \geq 2\operatorname{diam}X $ とし、$ \sigma_k = \lambda - 2d_{GH}(X, \lambda\triangle_{k+1}) $ を得る。
• $ k $ について合計することで、MST長を導出：$ \operatorname{mst}(X) = \sum_{k=1}^{n-1} \left[ \lambda - 2d_{GH}(X, \lambda\triangle_{k+1}) \right] $、$ \lambda \geq 2\operatorname{diam}X $ の範囲で有効。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限距離空間の最小全域木の辺長さは、単体へのGromov–Hausdorff距離で表現可能か？
• RQ2 スペクトル理論における固有値計算に類似した最小最大化公式は、MST辺長さに存在するか？
• RQ3 スケーリングされた単体へのGromov–Hausdorff距離の最適化により、Steiner最小木長を計算可能か？
• RQ4 有限距離空間の最小埋め込み長は、Gromov–Hausdorff距離の最大化問題に還元可能か？
• RQ5 直径スケーリングパラメータ $ \lambda $ は、Gromov–Hausdorff距離に基づく幾何的不変量の計算を安定化するために果たす役割は何か？

主な発見

• 有限距離空間 $ X $ における最小全域木の長さは、$ \operatorname{mst}(X) = \lambda(n-1) - 2\sum_{k=1}^{n-1} d_{GH}(X, \lambda\triangle_{k+1}) $ で与えられ、任意の $ \lambda \geq 2\operatorname{diam}X $ で有効である。
• 各 $ k $ に対して、$ k $ 番目に大きなMST辺長さは $ \lambda - 2d_{GH}(X, \lambda\triangle_{k+1}) $ に対応し、$ \sigma_k = \lambda - 2d_{GH}(X, \lambda\triangle_{k+1}) $ は $ k $ 番目に大きなクラスタ間距離である。
• Steiner最小木長は、$ \operatorname{smt}(M,X) = \inf \left\{ \sum_{k=1}^\infty \left[ \lambda - 2d_{GH}(V, \lambda\triangle_{k+1}) \right] : V \in \mathcal{M}(M,X,d) \right\} $ を満たす。ここで $ d > \operatorname{smt}(M,X) $ かつ $ \lambda \geq 2d $ である。
• 有限距離空間 $ M $ の最小埋め込み長は、$ \operatorname{mf}(M) = \inf \left\{ \sum_{k=1}^\infty \left[ \lambda - 2d_{GH}(V, \lambda\triangle_{k+1}) \right] : V \in \mathcal{M}(M,d) \right\} $ で与えられ、$ d > \operatorname{mf}(M) $ かつ $ \lambda \geq 2d $ の範囲で有効である。
• $ m > n $ に対して、$ d_{GH}(X, \lambda\triangle_m) = \lambda/2 $ であるため、$ \lambda - 2d_{GH}(X, \lambda\triangle_m) = 0 $ となり、MST公式における無限和の収束が保証される。
• 本手法により、MST、SMT、MFといった複雑な幾何的不変量の計算が、有限個の単体構成へのGromov–Hausdorff距離の最適化問題に還元される。