[論文レビュー] Calculus on parameterized quantum circuits

Javier Gil Vidal, Dirk Oliver Theis|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、アダルトキュービットや制御操作を必要とせずに、パラメータ化された量子回路（PQC）の微分計算を拡張する。固有値の間隔条件を活用し、フーリエベースの微分法を用いることで、ハミルトニアンの固有値が有理数に比例する場合、元の回路を複数回評価するだけで微分が計算可能となる。これにより、ノイズに強く、局所的勾配情報を利用した座標降下最適化が可能になる。

ABSTRACT

Mitarai, Negoro, Kitagawa, and Fujii proposed a type of parameterized quantum circuits, for which they gave a way to estimate derivatives wrt the parameters using only changes in the values of the parameters, not in the circuit itself, i.e., no ancillas or controlled operations. Recently, Schuld et al. have extended the results, but they need to revert to ancillas and controlled operations for some cases. In this note, we extend the types of MiNKiF circuits for which derivatives can be computed without ancillas or controlled operations --- at the cost of a larger number of evaluation points. We also propose a "training" (i.e., optimizing the parameters) which takes advantage of our approach.

研究の動機と目的

• 一般化されたパウリハミルトニアンを超えた、MiNKiFパラメータ化量子回路における微分計算の範囲を拡張すること。
• NISQデバイスにおけるノイズと接続性制約のため、勾配推定にアダルトキュービットや制御操作を必要としないようにすること。
• フーリエ展開から得られる完全な局所的勾配情報を活用した、より優れた最適化手法の開発。
• 複雑な微分回路を避けることで、ノイズ耐性の高い勾配推定を実現すること。

提案手法

• 各ハミルトニアン $ H_j $ の固有値が有理数に比例する、すなわち $ \lambda_j = \alpha k_j $（$ k_j $ は整数）であると仮定する。このとき $ H_j/\alpha $ は整数固有値を持つ。
• 関数 $ f(t) = \operatorname{tr}(M U(t) \rho U(t)^ {\dagger}) $ の複数回の評価に帰着させることで、微分計算を簡略化する。ここで $ U(t) = e^{-itH_j} $ であり、フーリエ展開の手法を用いる。
• 関数 $ f(t) $ のフーリエ係数から微分を再構成する。これらの係数は、固有値の間隔に関連する適切に選ばれた点での $ f $ のサンプリングによって推定される。
• 固有値が2つを超えるハミルトニアンの場合、半正定値計画法を用いてフーリエ展開の最小値を解くことで、正確な微分推定が可能になる。
• 各パラメータ方向における関数の完全な局所的依存関係を計算することで、座標降下最適化が可能になる。
• アダルトキュービットや制御操作を避けることで、回路のレイアウトを維持し、微分推定におけるノイズを低減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたパウリハミルトニアンを超えるハミルトニアンに対し、アダルトキュービットや制御操作を用いずに、MiNKiFパラメータ化量子回路における期待値の微分を計算できるか？
• RQ2 どのような固有値の間隔条件が、追加の量子リソースを必要とせずに、単純な回路評価による微分計算を可能にするか？
• RQ3 パラメータ依存の期待値の完全なフーリエ展開をどのように活用して、より頑健な最適化アルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 勾配推定においてアダルトキュービットを用いないことで、近位量子デバイスにおけるノイズ誘発誤差が低減できるか？
• RQ5 完全な局所的勾配を計算できることで、符号ベースや部分微分法と比較して優れた最適化戦略が可能になるか？

主な発見

• 各ハミルトニアンの固有値が有理数に比例する（$ \lambda_j = \alpha k_j $、$ k_j $ は整数）場合、アダルトキュービットや制御操作を用いずに、MiNKiF PQCにおける期待値の微分を計算可能である。
• 必要な回路評価回数は、異なる固有値差の数に比例し、固有値の数に対して最大で2次関数的に増加する。
• 固有値が2つまたは3つで等間隔に配置されたハミルトニアンの場合、評価回数は少数に抑えられ、先行研究の手法と同等またはそれを上回る性能を示す。
• フーリエ展開により完全な局所的勾配情報が得られ、座標降下のような高度な最適化戦略を支援する。
• アダルトキュービットに基づく微分回路によるノイズ増幅を回避するため、NISQデバイスに適したアプローチである。
• 半正定値計画法を用いることで、複雑なスペクトルに対してもフーリエ展開の最小値を解き、正確な微分推定が可能になる。