[論文レビュー] Calogero-Sutherland model in interacting fermion picture and explicit construction of Jack states

Jian-Feng Wu, Ming Yu|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2011

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、第二量子化および有限次微摂動理論を用いて、カルオジェロ＝サザンダー（CS）模型のフェルミオン的図式を提案する。フェルミオンの相互作用の三角構造を活用し、自由フェルミオン状態からの相似変換によってジャック状態を明示的に構成する。この手法は、可積分性を保ちつつ、正確な固有状態を体系的に構成するフレームワークを提供し、断熱的可解性を有する他の系へ一般化可能である。

ABSTRACT

The 40-year-old Calogero-Sutherland (CS) model remains a source of inspirations for understanding 1d interacting fermions. At $β=1, ext{or}0$, the CS model describes a free non-relativistic fermion, or boson theory, while for generic $β$, the system can be interpreted either as interacting fermions or bosons, or free anyons depending on the context. However, we shall show in this letter that the fermionic picture is advantageous in diagonalizing the CS Hamiltonian. Comparing to the previously known multi-integral representation or the Dunkl operator formalism for the CS wave functions, our method depends on the (upper or lower) triangular nature of the fermion interaction, which is resolved in perturbation theory of the second quantized form. The eigenstate is constructed from a multiplet of unperturbed states and the perturbation is of finite order. The full construction is a similarity transformation from the free fermion theory, in the same spirit as the Landau Fermi liquid theory and the 1d Luttinger liquid theory. That means quasi-particles or anyons can be represented in terms of free fermion modes (or bosonic modes via bosonization). The method is applicable to other (higher than one space dimension) systems for which the adiabatic theorem applies.

研究の動機と目的

• ハミルトニアンの対角化を簡略化する、フェルミオン的図式によるカルオジェロ＝サザンダー模型の構築を目的とする。
• フェルミオンの相互作用の三角構造を活用し、一般の $ \beta $ に対して正確な固有状態を構成する課題を解決することを目的とする。
• 自由フェルミオン状態からの相似変換を用いて、有限次微摂動によるジャック状態の明示的構成を実現することを目的とする。
• 断熱定理が適用可能でハミルトニアンが適切な基底において三角的である他の可積分系へ、この手法を一般化することを目的とする。

提案手法

• 本手法は第二量子化された微摂動理論を用い、相互作用ハミルトニアン $ H = H^{(0)} + H^{(I)} $ を、非摂動的固有状態の基底において、対角部 $ H^{(d)} = H^{(0)} + H^{\parallel} $ と厳密に三角的な部分 $ H^{\perp} $ に分解する。
• 正確な固有状態は時刻順積分による相似変換 $ S = T\exp\left(\int_{-\infty}^{0} H^{\perp}(t) dt\right) $ によって構成され、ここで $ H^{\perp}(t) = e^{-tH^{(d)}} H^{\perp} e^{tH^{(d)}} $ であり、ユニタリな時間発展を保証し、エルミート性を回復する。
• 構成は、関連するヒルベルト部分空間上で $ H^{\perp} $ が冪零であることを仮定しており、これにより有限次微摂動展開が可能となり、級数 $ R(E) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( (E - H^{(d)})^{-1} H^{\perp} \right)^n $ の収束が保証される。
• 本手法は、シフトされた運動量演算子 $ P^{d}_{r} = P^{(0)}_{r} + P^{\parallel}_{r} $ に依存しており、ここで $ P^{\parallel}_{r} $ は $ \beta - 1 $ に比例する自己生成「ゲージポテンシャル」を導入し、相互作用の強さを符号化する。
• ジャック状態は、埋め込まれたフェルミ面真空 $ |f\rangle $ に頂点演算子 $ S(k) $ を作用させることで生成され、$ S(k) $ は相似変換 $ S $ を介して定義され、保存量の可換性を保つ。
• 形式的枠組みは摂動的真空 $ |f\rangle $ に対して正規順序を維持し、ジャック関数とシュール関数の間の遷移行列 $ R_{\lambda}^{\nu} $ が単位対角を持つ三角行列であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $ \beta $ に対して、フェルミオン的枠組みを用いてカルオジェロ＝サザンダー模型の固有状態を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 第二量子化におけるフェルミオンの相互作用の三角構造は、有限次微摂動による正確な固有状態の構成を可能にするか？
• RQ3 相似変換 $ S $ は、可積分性を保ちながら、自由フェルミオン状態を相互作用のあるジャック状態へ写像する役割を果たすか？
• RQ4 シフトされた運動量演算子 $ P^{d}_{r} $ における自己生成「ゲージポテンシャル」は、どのように相互作用強度 $ \beta $ を符号化するか？
• RQ5 この手法は、断熱的可解性を有する他の可積分モデルへどの程度一般化可能か？

主な発見

• カルオジェロ＝サザンダーのハミルトニアンの正確な固有状態は、$ |E\rangle = R(E) |E^{(0)}\rangle_{0} $ として構成され、ここで $ R(E) = \left(1 - (E - H^{(d)})^{-1} H^{\perp}\right)^{-1} $ であり、$ H^{\perp} $ は厳密に三角的かつ冪零である。
• 時刻順指数による定義である相似変換 $ S $ は、自由フェルミオン状態 $ |E^{(0)}\rangle_{0} $ を正確な相互作用状態 $ |E\rangle $ へ写像し、$ H = S H^{(d)} S^{-1} $ を満たす。
• $ \beta = 1 $ の場合、本手法は自由フェルミオン理論に還元され、$ P^{\parallel}_{r} = 0 $ となり、運動量演算子 $ P^{(0)}_{r} $ が回復される。
• ジャック対称関数がシュール基底において三角的であることが示され、遷移行列 $ R_{\lambda}^{\nu} $ は単位対角を持ち、$ (v^{1/\beta})_{\lambda}^{\mu} $ と $ ((v^{1})^{-1})_{\mu}^{\nu} $ の三角行列の積として表現可能である。
• 保存量 $ W^{n} = S \sum_{r} (P^{d}_{r})^{n} S^{-1} $ は互いに可換であり、相似変換下でもモデルの可積分性が確認される。
• ハミルトニアンが非摂動的固有状態の基底において三角的であり、かつ $ H^{\perp} $ が冪零であるような任意の系に対して本手法は有効であり、CS模型を超えて一般化可能である。