[論文レビュー] Can Almost Everybody be Almost Happy? PCP for PPAD and the Inapproximability of Nash

Yakov Babichenko, Christos H. Papadimitriou+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2015

Game Theory and Voting Systems参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、PPADにおけるPCPに類似した新しい予想を提示する。その予想では、大多数のプレイヤーが逸脱するインcentiveがほぼゼロである$(\varepsilon,\delta)$-近似均衡を求める問題は、End of the Lineを解くのと同程度の難易度であると想定している。誕生日反復還元を用いて、この予想が成り立つならば、2人プレイヤーのナッシュ均衡に対する$n^{O(\log n)}$近似スキームは本質的に最適であり、近似可能なナッシュ均衡および公平な収入分配を伴う競争均衡に関する長年の不近似可能性の問題が解決される。

ABSTRACT

We conjecture that PPAD has a PCP-like complete problem, seeking a near equilibrium in which all but very few players have very little incentive to deviate. We show that, if one assumes that this problem requires exponential time, several open problems in this area are settled. The most important implication, proved via a "birthday repetition" reduction, is that the n^O(log n) approximation scheme of [LMM03] for the Nash equilibrium of two-player games is essentially optimum. Two other open problems in the area are resolved once one assumes this conjecture, establishing that certain approximate equilibria are PPAD-complete: Finding a relative approximation of two-player Nash equilibria (without the well-supported restriction of [Das13]), and an approximate competitive equilibrium with equal incomes [Bud11] with small clearing error and near-optimal Gini coefficient.

研究の動機と目的

• 2人プレイヤーのナッシュ均衡の不近似可能性に関する長年の未解決問題を解決すること。
• Liptonらの類似多項式時間近似スキームが、PPADにおける指数時間仮説の強化版を仮定すると最適であることを確立すること。
• 市場清算誤差が低く、Gini係数がほぼ最適である近似均衡を求めることがPPAD完全であることを示すこと。
• PCP定理がNPに対して果たす役割に類似した、$(\varepsilon,\delta)$-Gcircuit問題を通じてPPADの新しいPCP定式化を導入すること。

提案手法

• $(\varepsilon,\delta)$-Gcircuit問題を導入し、これは$\varepsilon$-近似で少なくとも$1-\delta$の制約が満たされる必要がある制約充足問題である。
• 予想2を提唱する：End of the Lineから$(\varepsilon,\delta)$-Gcircuitへの類線形還元を提示し、その問題が$2^{\tilde{\Omega}(n)}$時間必要であると示唆する。
• 誕生日反復技術を用いて、多行列ゲームを2行列ゲームに還元し、近似均衡構造を保存する。
• $(\varepsilon,\delta)$-Gcircuitから2人プレイヤーのナッシュ均衡への還元を構築し、前者での不近似可能性が後者での不近似可能性を示唆することを示す。
• この還元を競争均衡からの等収入（CEEI）に適用し、低い清算誤差とほぼ最適なGini指数を持つ近似CEEIを求めることがPPAD完全であることを示す。
• 混合戦略と報酬制約の連続的性質を用いて、PPAD問題を確率的検証が可能な制約充足問題としてモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2人プレイヤーのナッシュ均衡に対する$n^{O(\log n)}$近似スキームは最適であるか、それとも多項式時間アルゴリズムに改善可能か？
• RQ2 NPに対するPCP定理に類似したPCPに類似した定式化により、ナッシュ均衡の不近似可能性を証明できるか？
• RQ3 等収入とほぼ最適なGini係数を持つ近似競争均衡を求める問題はPPAD完全か？
• RQ4 $(\varepsilon,\delta)$-Gcircuit問題は、類線形還元のもとでPPADの完全問題として機能可能か？ その場合、指数的非可解性が示唆される。
• RQ5 End of the Lineから$(\varepsilon,\delta)$-Gcircuitへの類線形還元が存在するか？ その場合、PPADのPCPが確立される。

主な発見

• 予想2を仮定すると、2人プレイヤーのゲームにおける$\varepsilon$-2Nashを解くには$n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$時間が必要であり、Liptonらの$n^{O(\log n)}$近似スキームが本質的に最適であることが証明される。
• 誕生日反復技術は、多行列ゲームを2行列ゲームに還元する際に、近似均衡構造を保存するのに成功し、不近似可能性の結果を導くことができる。
• well-supported制約なしの2人プレイヤーのナッシュ均衡の相対的近似は、同じ仮定のもとでPPAD完全である。
• 等収入と小さな清算誤差、ほぼ最適なGini係数を持つ近似競争均衡はPPAD完全であることが示され、公平な割当メカニズム分野における未解決問題が解決される。
• $(\varepsilon,\delta)$-Gcircuit問題は、PPADのPCPに類似した完全問題の有望な候補であることが示され、PPADが確率的検証可能証明を備える可能性が示唆される。
• $\varepsilon$-Gcircuitから2人プレイヤーのナッシュ均衡への近似保存還元が存在しない限り、End of the Lineの類似多項式時間アルゴリズムが存在することになり、これは予想1に反する。