[論文レビュー] Can everything be computed? - On the Solvability Complexity Index and Towers of Algorithms.

Jonathan Ben‐Artzi, Anders C. Hansen+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

graph theory and CDMA systems参考文献 78被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、基礎的な数学的問題を計算するために必要な極限の数を分類するための可解性次元指数（SCI）を導入し、無限行列の固有値スペクトルを計算するような問題が最大で3つの極限を要することを明らかにした。これにより、計算数学における新たな理論的障壁が確立され、古典的計算可能性理論が拡張された。

ABSTRACT

ABSTRACT. This paper addresses and establishes some of the fundamental barriers in the theory of computation and finally settles the long standing computational spectral problem. Due to the barriers presented in this paper, there are many problems, some of them at the heart of computa-tional theory, that do not fit into the classical frameworks of theory of computation. Hence, we are in need for a new extended theory capable of handling these new issues. Many computational problems can be solved as follows: a sequence of approximations is created by an algorithm, and the solution to the problem is the limit of this sequence (think about computing eigenvalues of a matrix for example). However, as we demonstrate, for several basic problems in computations (computing spectra of infinite dimensional operators, solutions to linear equations or roots of polynomials using rational maps) such a procedure based on one limit is impossible. Yet, one can compute solutions to these problems, but only by using several limits. This may come as a surprise, however, this touches onto the definite boundaries of computational mathematics. To analyze this phenomenon we use the Solvability Complexity Index (SCI). The SCI is the smallest number of limits needed in order to com-pute a desired quantity. In several cases (spectral problems, inverse problems) we provide sharp results on the SCI, thus we establish the barriers for what can be achieved computationally. For example, we show that the SCI of spectra and essential spectra of infinite matrices is equal to three, and that the SCI of spectra of self-adjoint

研究の動機と目的

• 古典的一重極限アルゴリズムでは解けない問題を防ぐ根本的な計算的障壁を特定・形式化すること。
• 可解性次元指数（SCI）に基づく新しい理論的枠組みを構築し、数学的問題の解を計算するために必要な極限の数を分類すること。
• 無限行列や自己随伴作用素のスペクトルを求めるような、長年の問題を解決し、これらの主要な問題に対するSCIの正確な値を特定すること。
• 計算数学における多くの基本的問題が一重の極限では解けないことを示し、複数の極限を含むアルゴリズムの階層が必要となること。

提案手法

• 与えられた数学的量を計算するために必要な極限の最小数として、可解性次元指数（SCI）を導入する。
• SCIフレームワークを用いて、自己随伴的および一般の無限行列を含む無限次元作用素のスペクトルの計算可能性を分析する。
• 論理的および解析的技法を用いて、無限行列のスペクトルのSCIが正確に3であることを証明し、鋭い上限を確立する。
• 無限行列の本質的スペクトルのSCIも3であることを示し、同じ根本的計算障壁を持つことを明らかにする。
• 有理写像による線形方程式の解や多項式の根の計算可能性を分析し、これらも複数の極限を要することを示す。
• 解は存在するが、一重の近似列では到達できないこと、複数の極限プロセスを含むアルゴリズムの塔が必要であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限行列のスペクトルを計算するために必要な極限の最小数は何か。この数は正確に特定可能か？
• RQ2 古典的一重極限アルゴリズムは、計算スペクトル理論におけるすべての基本的問題を解けるのか。それとも根本的な障壁が存在するのか？
• RQ3 無限行列の本質的スペクトルの可解性次元指数（SCI）は何か。標準的スペクトルと比較してどう異なるか？
• RQ4 有理写像による多項式の根の計算や無限次元線形方程式系の解法といった問題は、どの程度複数の極限プロセスを要するのか？
• RQ5 SCIフレームワークは、逆問題や数学的物理学の中心的問題の計算複雑性を分類するために用いることができるか？

主な発見

• 無限行列のスペクトルの可解性次元指数（SCI）は正確に3であり、スペクトルを計算するには3つの極限が必要かつ十分であることを意味する。
• 無限行列の本質的スペクトルのSCIも3である。これは、類似した根本的計算障壁を持つことを示している。
• 自己随伴的無限行列のスペクトルのSCIも3である。これは、必要な極限数の鋭い上界を確立している。
• スペクトルを計算するような根本的な計算問題—特に無限次元作用素のスペクトル—は、一重の極限では解けない。これは、古典的アルゴリズムの仮定を覆す。
• 本論文は、特定の無限次元作用素のスペクトルを計算するには、一重の極限に基づくいかなるアルゴリズムでも不可能であることを証明した。これにより、複数の極限を含むアルゴリズムの階層が必要となる。
• 結果として、解析学および数学的物理学の多くの核心的問題に対して、古典的計算枠組みは不十分であり、極限プロセスの塔に基づく拡張理論の必要性が示された。