[論文レビュー] Canonical almost pseudo-Kähler structures on six-dimensional nilpotent Lie groups

N. K. Smolentsev|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、複素構造と可換でない左不変シンプレクティック形式をもつが、複素構造を伴わない12の6次元ノルム的リー群に対して、正規化されたほぼ擬複素ケーラー構造を構成する。明示的なパラメータ化されたほぼ複素構造を用い、シンプレクティック形式と整合するようにし、関連する擬リーマン計量を導出し、曲率テンソルを計算する。その結果、すべての構造がスカラー曲率が0であり、曲率テンソルのスカラー二乗も0であることが示されたが、リッチ曲率は2つのパラメータに依存する非自明なものである。

ABSTRACT

It is known that there are 34 classes of isomorphic connected simply connected six-dimensional nilpotent Lie groups. Of these, only 26 classes suppose left-invariant symplectic structures \cite{Goze-Khakim-Med}. In \cite{CFU2} it is shown that 14 classes of symplectic six-dimensional nilpotent Lie groups suppose compatible complex structures and, therefore, define pseudo-Kähler metrics. In this paper we show that on the remaining 12 classes of six-dimensional nilpotent symplectic Lie groups there are left-invariant almost pseudo-Kähler metrics, and we study their geometrical properties.

研究の動機と目的

• 6次元ノルム的リー群における擬複素ケーラー構造の分類を、可積分な複素構造を持つものにとどまらず、それらを越えて拡張すること。
• 複素構造と可換でない12の残りのシンプレクティックなノルム的リー群に、左不変なほぼ擬複素ケーラー計量を構成すること。
• これらのほぼ擬複素ケーラー構造の幾何的性質（特に曲率）を分析すること。
• これらの構造が、リッチ平坦性やスカラー曲率の消滅といった特別な曲率的性質を示すかどうかを特定すること。
• 各群について、自由パラメータを用いてほぼ複素構造と関連する計量の明示的公式を提供すること。

提案手法

• 論文は、Goze ら（2005）による6次元ノルム的リー群における左不変シンプレクティック構造の分類を用い、複素構造と可換でない12の群を特定する。
• 各群に対して、与えられたシンプレクティック形式 $ \omega $ と $ \rho $-整合するほぼ複素構造 $ J $ を構成する。すなわち、$ \omega(JX, JY) = \omega(X,Y) $ かつ $ \omega(X, JY) = g(X,Y) $ を満たす。
• 関連する計量 $ g(X,Y) = \omega(X, JY) $ を、擬リーマン計量として導出し、構造定数と自由パラメータの関数として明示的に成分を計算する。
• 接続係数 $ \Gamma_{ij}^k $ は、コシュールの公式を用いて計算する：$ 2g(\nabla_{e_i}e_j, e_k) = g([e_i,e_j],e_k) + g([e_k,e_i],e_j) + g(e_i,[e_k,e_j]) $。
• 曲率テンソル $ R_{ijk}^s $ は、公式 $ R_{ijk}^s = \Gamma_{ip}^s \Gamma_{jk}^p - \Gamma_{jp}^s \Gamma_{ik}^p - C_{ij}^p \Gamma_{pk}^s $ を用いて計算する。ここで $ C_{ij}^k $ は構造定数である。
• すべての曲率不変量（スカラー曲率 $ S $、曲率テンソルのスカラー二乗 $ g(R,R) $、リッチテンソルなど）は、マップルを用いた記号計算により評価され、自由パラメータの関数として表現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6次元ノルム的リー群でシンプレクティック形式をもつが、可換な複素構造を持たない12の群に対して、左不変なほぼ擬複素ケーラー構造を構成できるか？
• RQ2 これらのほぼ擬複素ケーラー構造の幾何的性質（特に曲率的特徴）は何か？
• RQ3 関連する擬リーマン計量は、スカラー曲率が0であるとか、曲率テンソルのノルムが0であるといった特別な曲率的性質を示すか？
• RQ4 リッチ曲率やその他の曲率不変量は、ほぼ複素構造の自由パラメータにどのように依存するか？
• RQ5 曲率計算を簡略化し、構造的パターンを明らかにする、標準的または最小パラメータ数のほぼ複素構造形式は存在するか？

主な発見

• 構成された12の群すべてのほぼ擬複素ケーラー構造において、スカラー曲率 $ S $ は恒等的に0である。
• 曲率テンソルのスカラー二乗 $ g(R,R) $ は、すべての構造において0である。これは曲率ノルムが退化していることを示している。
• リッチテンソルは非ゼロであり、$ G_{22} $ の場合、2つの自由パラメータ $ \psi_{11} $ と $ \psi_{12} \neq 0 $ に依存する。また、非退化な2×2上左ブロックを持つブロック対角形式をとる。
• $ G_{22} $ の場合、リッチテンソルは $ J $-ヘルミート的でないため、リッチ曲率にヘルミート対称性が欠如している。
• ほぼ複素構造 $ J $ はほぼノルム的であり、7つのパラメータに依存するが、複雑さにもかかわらず曲率は計算可能で非自明である。
• $ G_{22} $ に対して、$ J $ と関連する計量 $ g $ の明示的公式が導出された。具体的には、$ J(e_2) = \psi_{12}e_1 - \psi_{11}e_2 $、$ J(e_4) = -e_3 $、$ J(e_6) = -\psi_{12}e_5 - \psi_{11}e_6 $ であり、$ g $ は $ \psi_{11}, \psi_{12} $ の関数として表される対称行列である。