[論文レビュー] Canonical heights, invariant currents, and dynamical systems of morphisms associated with line bundles

Shu Kawaguchi|ArXiv.org|May 1, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、数体上の多様体に対する線束に関連する複数の自己準同型写像からなる力学系において、サブ多様体の正規化高を構成し、Call–Silverman や Zhang の単一自己準同型写像系に関する研究を一般化する。これは、次数 d のスケーリング性質を満たす一意な高さ関数を確立し、やや弱い条件下でも小高さの点の有限性を示し、K3 表面や射影空間への応用を拡張する。

ABSTRACT

We construct canonical heights of subvarieties for dynamical system of several morphisms associated with line bundles defined over a number field, and study some of their properties. We also construct invariant currents for such systems over $\mathbb{C}$.

研究の動機と目的

• 数体上の射影多様体における単一自己準同型写像からの正規化高の構成を、k 個の自己準同型写像の系へ一般化すること。
• K3 表面のサブ多様体、特に Wheler の K3 表面やその他の特別な族に対し、正規化高の理論を拡張すること。
• k 個の自己準同型写像の作用下でスケーリング恒等式を満たす正規化高関数の存在と一意性を確立すること。
• このような系において、有界次数かつ小高さの周期点の有限性を証明すること。
• 複素射影多様体上で、これらの系に対する不変 (1,1)-形式を構成し、グリーン形式の理論を拡張すること。

提案手法

• 線束 L の次数 d > k を満たす数体 K 上の自己準同型写像 k 個の力学系を、条件 ⨂_{i=1}^k f_i^*(L) ≅ L^{ ensor d} で定義する。
• X(overline{K}) → ℝ への正規化高関数 ĥ_{L,{f₁,…,fₖ}} を構成し、∑_{i=1}^k ĥ(f_i(x)) = d·ĥ(x) および ĥ = h_L + O(1) を満たすことを示す。
• 非負行列とペロン＝フロベニウス型固有値理論を用いた線形代数的議論により、正規化高の一意性を証明する。
• L が豊富で自己準同型写像が全射のとき、非負性および零化条件（軌道が有限のときかつそのときに限り零）を確立する。
• 特異化を用いて高さをサブ多様体へ拡張し、ノースコットの有限性定理を用いて小高さの点を有界化する。
• 自己準同型写像の力学と正の形式の理論を用いて、複素数体上での不変 (1,1)-形式を構成し、グリーン形式の理論を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一の自己準同型写像ではなく、複数の自己準同型写像を含む力学系において、サブ多様体の正規化高を構成できるか？
• RQ2 k 個の自己準同型写像の共同作用下で、正規化高関数はスケーリング恒等式を満たし、かつ一意的か？
• RQ3 どのような条件下で正規化高が非負となり、またいつ零になるか（軌道が有限であることを示唆する）？
• RQ4 Wheler の K3 表面のような複数の対称性を持つ K3 表面に対し、理論を拡張できるか？
• RQ5 このような複数自己準同型写像系に対して、複素数体上に不変形式が存在するか？また、グリーン形式とはどのように関係するか？

主な発見

• 数体上、次数 d > k の線束 L に関連する k 個の自己準同型写像の力学系に対して、一意な正規化高関数が存在する。
• すべての x ∈ X(overline{K}) に対して、∑_{i=1}^k ĥ(f_i(x)) = d·ĥ(x) が成り立ち、かつ ĥ = h_L + O(1) が成り立つ。
• L が豊富であるとき、すべての x に対して ĥ(x) ≥ 0 であり、ĥ(x) = 0 となるのは、{f₁,…,fₖ} による x の前方向軌道が有限であるときかつそのときに限る。
• X が正規で L が豊富、かつ自己準同型写像が全射のとき、任意のサブ多様体 Y ⊂ X_{overline{K}} に対して、正規化高 ĥ(Y) ≥ 0 が定義される。
• Wheler の K3 表面 (S;σ₁,σ₂) 上の正規化高は、Silverman の正規化高と定数倍 (1+√3) で一致する。
• 有界次数かつ小正規化高の K-有理点の数は、ノースコットの定理と行列の固有値議論により有限である。