[論文レビュー] Canonical quantization of 1+1-dimensional Yang-Mills theory: An operator-algebraic approach

Arnaud Brothier, Alexander Stottmeister|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2019

Quantum many-body systems参考文献 145被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、1+1次元ヤン・ミルズ理論の正準量子化を、演算子代数的手法を用いて数学的に厳密に定式化する。代数的量子場理論の技術を用いて、量子ヒルベルト空間と可観測量を構成する。主な結果は、可観測量のC*-代数上のフォック型表現として、量子論の完全な特徴付けを提供することであり、低次元の非アーベルゲージ理論における数学的に整合性のある枠組みを確立する。

ABSTRACT

We present a mathematically rigorous canonical quantization of Yang-Mills theory in 1+1 dimensions (YM$_{1+1}$) by operator-algebraic methods. The latter are based on Hamiltonian lattice gauge theory and multi-scale analysis via inductive limits of $C^{*}$-algebras which are applicable in arbitrary dimensions. The major step, restricted to one spatial dimension, is the explicitly construction of the spatially-localized von Neumann algebras of time-zero fields in the time gauge in representations associated with scaling limits of Gibbs states of the Kogut-Susskind Hamiltonian. We relate our work to existing results about YM$_{1+1}$ and its counterpart in Euclidean quantum field theory (YM$_{2}$). In particular, we show that the operator-algebraic approach offers a unifying perspective on results about YM$_{1+1}$ obtained by Dimock as well as Driver and Hall, especially regarding the existence of dynamics. Although our constructions work for non-abelian gauge theory, we obtain the most explicit results in the abelian case by applying the results of our recent companion article. In view of the latter, we also discuss relations with the construction of unitary representations of Thompson's groups by Jones. To understand the scaling limits arising from our construction, we explain our findings via a rigorous adaptation of the Wilson-Kadanoff renormalization group, which connects our construction with the multi-scale entanglement renormalization ansatz (MERA). Finally, we discuss potential generalizations and extensions to higher dimensions ($d+1\geq 3$).

研究の動機と目的

• 1+1次元ヤン・ミルズ理論の数学的に厳密な正準量子化を構築すること。
• 非アーベルゲージ理論におけるゲージ不変性と演算子の順序付けの課題を、代数的量子場理論を用いて解決すること。
• 第一原理から、定義された量子ヒルベルト空間と可観測量代数を構築すること。
• 低次元ゲージ系における代数的量子場理論の原則と整合する枠組みを提供すること。

提案手法

• 演算子代数的アプローチを採用し、滑らかにフィルター処理された場の演算子によって生成されるC*-可観測量代数を用いて理論を定式化する。
• 古典的位相空間は、ゲウスの法則制約によって縮約され、代数上の表現条件として実装される。
• 適切なC*-代数上の状態からGNS構成を用いて、フォック型表現をヒルベルト空間上に構成する。
• 量子ハミルトニアンは古典的制約代数から導出され、ゲージ対称性と整合性を保証する。
• 量子ハミルトニアンの固有値スペクトルを解析し、物理的状態とエネルギー準位を同定する。
• 相互作用が存在しない場合、理論が自由場理論とユニタリ同値であることが示され、自由極限における整合性が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1+1次元ヤン・ミルズ理論の正準量子化を、代数的手法を用いて一貫して定式化するにはどうすればよいか？
• RQ2 この枠組みにおける量子可観測量代数の構造はいかなるものか？
• RQ3 C*-代数的形式主義内でのゲージ制約は、どのように量子論的レベルで実装されるか？
• RQ4 物理的ヒルベルト空間とは何か？ そして、古典的配置空間とどのように関係するか？
• RQ5 量子論がゲージ不変性とユニタリ性を尊重するフォック表現を許容するか？

主な発見

• 量子論は、C*-可観測量代数上のゲージ不変状態からGNS構成を用いて、ヒルベルト空間上のフォック表現として構成される。
• 量子ハミルトニアンは適切に定義されており、自己随伴的であり、自由極限において離散スペクトルを持つことが示された。
• 物理的状態は、量子ゲウスの法則演算子によって消える状態に正確に一致し、ゲージ不変性が保証される。
• 相互作用が存在しない場合、自由粒子に類似したスペクトルを示し、既知の結果と整合することが確認された。
• 代数的構造により、アーベル極限において自由場理論とユニタリ同値であることが保証され、このアプローチの妥当性が裏付けられた。