[論文レビュー] Canonical Structure of Noncommutative Quantum Mechanics as Constraint System

Masayoshi Nakamura|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2014

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、射影作用素法（POM）とスタープロダクト量力学を用いて、座標と運動量の両方の非可換性を同時に持つ非可換量子力学の標準的枠組みを構築する。非可換パラメータのすべての次数にわたる、射影された正準共役系（CCS）の整合的な交換関係代数を導出し、Seiberg-Witten写像およびBoppシフト写像と同等の正確なCCSを構成し、二重のチャーン=サイモンズ項を有する新規の一次特異ラグランジアンを用いてアプローチを検証する。

ABSTRACT

Starting with the first-order singular Lagrangian, the canonical structure in the noncommutative quantum mechanics with the noncommutativities both of coordinates and momenta is investgated. Using the projection operator method (POM) for the constraint systems and the constraint star-product, the noncommutative quantum system is constructed and the commutator algebra of {\it projected} canonically conjugate set(CCS) of the system is derived in the form including all orders of the noncommutativity parameters. We discuss the alternative CCS, which obeys the ordinary noncommutative commutator algebra. The {\it exact} CCS is constructed in the framework of the POM, and which is shown to be equivalent to the CCS constructed through the Seiberg-Witten map and the Bopp shift. We further discess the alternative Lagrangian to realize the noncommutativities both of coordinates and momenta.

研究の動機と目的

• 座標と運動量の両方の非可換性を有する非可換量子力学の整合的な正準化量子化枠組みを構築すること。
• 第二級制約を有する制約系における順序の曖昧さを、射影作用素法（POM）を用いて解消すること。
• 非可換パラメータのすべての次数を含む、射影されたCCSの交換関係代数を導出すること。
• POMによって得られた正確なCCSが、Seiberg-Witten写像およびBoppシフト変換によって得られるものと同等であることを確立すること。
• 二重のチャーン=サイモンズ項を含む一次特異ラグランジアンモデルを提案し、両方の非可換性を同時に実現すること。

提案手法

• 座標と運動量の両方の非可換性をモデル化するため、二つのチャーン=サイモンズ項を有する一次特異ラグランジアンを定式化する。
• 第二級制約を除去するために射影作用素法（POM）を適用し、繰り返しの射影においても整合性が保たれることを保証する。
• スタープロダクト量力学を用いて、非可換パラメータのすべての次数を含む射影CCSの交換関係代数を構築する。
• 非可換構造を制御する行列 $ M = I + \frac{1}{4}\Theta\Xi $ および $ \bar{M} = I - \frac{1}{4}\Theta\Xi $ を定義する。
• 標準的な交換関係 $[Q^i, Q^j]=0$, $[Q^i, P_j]=i\hbar\delta^i_j$, $[P_i, P_j]=0$ を満たす正確なCCS $ (Q^i, P_i) $ を導出する。
• POMの結果が、明示的な演算子写像によってSeiberg-Witten写像およびBoppシフトと同等であることを示し、POMの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 座標と運動量の両方の非可換性を有する非可換量子力学に対して、整合的な正準構造をどのように構築できるか？
• RQ2 混合非可換性を有する第二級制約系に射影作用素法（POM）を適用した場合、順序に依存しない結果が得られるか？
• RQ3 POMによって得られた正確なCCSが、Seiberg-Witten写像またはBoppシフトによって得られる標準的非可換位相空間と同等であることをどのように示せるか？
• RQ4 非可換パラメータのすべての次数を含めた場合、完全な交換関係代数はどのような形をとるか？
• RQ5 座標と運動量の両方の非可換性を同時に実現する一次特異ラグランジアンをどのように設計できるか？

主な発見

• 射影CCSの交換関係代数は、$[q^i, q^j] = i\hbar(M^{-1}\Theta M^{-1})_{ij}$, $[q^i, p_j] = i\hbar(M^{-1}\bar{M}M^{-1})_{ij}$, $[p_i, p_j] = i\hbar(M^{-1}\Xi M^{-1})_{ij}$ として導出され、$\Theta$ および $\Xi$ のすべての次数が含まれる。
• 初期系における制約演算子の特定の構造のおかげで、POM手順は一意的かつ順序に依存しない結果をもたらす。
• 標準的な正準交換関係 $[Q^i, Q^j]=0$, $[Q^i, P_j]=i\hbar\delta^i_j$, $[P_i, P_j]=0$ を満たす正確なCCS $ (Q^i, P_i) $ が構築され、標準的量子化と整合的であることが確認された。
• POMによって得られた正確なCCSが、Seiberg-Witten写像およびBoppシフトによって得られたものと同等であることが示され、手法の整合性が裏付けられた。
• 射影ハミルトニアン $ H^* = \hat{\cal P} h_0(x,v) $ が導出され、最終的な制約付き量子系の構築が完了した。
• 二重のチャーン=サイモンズ項を有する新規の一次特異ラグランジアンは、座標と運動量の両方の非可換性を効果的に実現し、統一的な力学的モデルを提供した。