[論文レビュー] Cantor spectrum for a class of $C^2$ quasiperiodic Schrödinger operators

Yiqian Wang, Zhenghe Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2014

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$C^2$ な準周期的シュレーディンガー作用素について、ポテンシャルが非退化な臨界点をちょうど2つ（最小値と最大値）もつ場合、十分に大きな結合定数 $\lambda > \lambda_0$ に対して、周波数 $\alpha$ がディオファントス的である限り、スペクトルがカントール集合であることを確立する。証明は、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ コックスに沿った漸近的安定・不安定方向を分析する、新しい力学系の手法に依拠しており、さらに、このようなコックスの特定の1パラメータ族において、一様双曲性が開かつ稠密であることも示している。

ABSTRACT

We show that for a class of $C^2$ quasiperiodic potentials and for any Diophantine frequency, the spectrum of the corresponding Schrödinger operators is Cantor. Our approach is of purely dynamical systems, which depends on a detailed analysis of asymptotic stable and unstable directions. We also apply it to general $\mathrm{SL}(2,\mathbb R)$ cocycles, and obtain that uniform hyperbolic systems form a open and dense set in some one-parameter family.

研究の動機と目的

• 特定のポテンシャル構造を持つ $C^2$ な準周期的シュレーディンガー作用素のクラスに対して、カントールスペクトルの存在を確立すること。
• 結合定数 $\lambda > \lambda_0$ に対して、周波数 $\alpha$ がディオファントス的である場合、スペクトル $\Sigma_{\alpha,\lambda,v}$ がカントール集合であることを示すこと。
• 一様双曲性の性質に依存する、完全に力学系に基づく手法を構築すること。この手法は、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ コックスにおける漸近的安定・不安定方向に焦点を当てる。
• 結果を一般の $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ コックスに拡張し、一様双曲性が特定の1パラメータ族において開かつ稠密であることを示すこと。

提案手法

• 作用素に関連するシュレーディンガー・コックス $ (\alpha, A^{(E-\lambda v)}) $ を分析する。ここで $ A^{(E-\lambda v)}(x) = \begin{pmatrix} E - \lambda v(x) & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $ である。
• 反復行列積から得られるコックス転送行列 $ A_n^{(E-\lambda v)}(x) $ の漸近的安定・不安定方向の詳細な解析を適用する。
• ポテンシャル $ v \in C^2 $ が非退化な臨界点をちょうど2つ（1つの最小値と1つの最大値）もつ構造を用いて、極値付近でのコックスの振る舞いを制御する。
• 大きな $ \lambda $ に対して、一様双曲性を示すエネルギー $ E $ の集合がスペクトル内で開かつ稠密であることを示すことにより、スペクトルがカントール集合に漸近することを確立する。
• 一般の $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) $ コックス $ B^{(t,\lambda)}(x) = \begin{pmatrix} \lambda(x) & 0 \\ 0 & \lambda(x)^{-1} \end{pmatrix} \cdot R_{\psi(x,t)} $ に対してもこの手法を適用する。ここで $ \psi $ は特定の幾何的および正則性条件を満たすものとする。
• これらの条件下で、$ \lambda > \lambda_0 $ のとき、パラメータ空間 $ T $ 内で、$ (\alpha, B^{(t,\lambda)}) $ が一様双曲性を示すパラメータ $ t $ の集合が開かつ稠密であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャルが非退化な臨界点をちょうど2つもつ $ C^2 $ な準周期的シュレーディンガー作用素のスペクトルは、結合定数が十分に大きい場合にカントール集合になるか？
• RQ2 サブハーモニック性やコタニ理論に依存せずに、安定・不安定方向に基づく完全に力学系に依存する手法によって、カントールスペクトル性を確立できるか？
• RQ3 特定の幾何的構造を持つ1パラメータ族の $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) $ コックスに対して、一様双曲性を示すパラメータの集合は開かつ稠密か？
• RQ4 この結果は、単位円上の直交多項式に由来するような他のコックスモデルへも拡張可能か？

主な発見

• 任意のディオファントス的周波数 $ \alpha \in DC_\tau $（$ \tau > 2 $）と、非退化な臨界点をちょうど2つ（最小値と最大値）もつ任意の $ C^2 $ ポテンシャル $ v $ に対して、$ \lambda_0 = \lambda_0(\alpha, v) > 0 $ が存在し、すべての $ \lambda > \lambda_0 $ に対してスペクトル $ \Sigma_{\alpha,\lambda,v} $ がカントール集合である。
• 証明は、サブハーモニック性やコタニ理論に依存せず、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ コックスにおける漸近的安定・不安定方向の新しい力学系的解析に依拠している。
• 与えられた $ \lambda(x) $ と $ \psi(x,t) $ の条件のもとで、$ \lambda > \lambda_0 $ のとき、一様双曲性を示すコックス $ (\alpha, B^{(t,\lambda)}) $ の集合はパラメータ空間 $ T $ 内で開かつ稠密である。
• この結果は、$ \lambda(x) $ が0から離れていることと、$ \psi $ が提示された幾何的および正則性条件を満たす限り、$ \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) $ コックスの広いクラスに適用可能である。特に、$ B^{(t,\lambda)}(x) = \mathrm{diag}(\lambda(x), \lambda(x)^{-1}) \cdot R_{\psi(x,t)} $ の形のコックスに対しても成立する。
• この手法により、ツェゴ・コックスに対する推論が得られる：$ f = \lambda e^{2\pi i[\theta(x) + kx]} $ で、$ \theta \in C^2 $、$ \theta(x) - \theta(x - \alpha) $ が $ v $ と同じタイプの関数であり、$ \lambda_0 < \lambda < 1 $ のとき、$ \partial\mathbb{D} $ 内のエネルギー $ E $ のうち、$ (\alpha, A^{(E,f)}) $ が一様双曲性を示す集合は $ \partial\mathbb{D} $ 内で開かつ稠密である。