[論文レビュー] Quasi-Periodic Schrödinger Cocycles with Positive Lyapunov Exponent are not Open in the Smooth Topology

Yiqian Wang, Jiangong You|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 44被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$1 \leq l \leq \infty$ における $\mathcal{C}^l$ 位相において、正のリヤプノフ指数をもつ準周期的シュレーディンガーコサイクルの集合が開でないことを、零リヤプノフ指数をもつコサイクルで近似可能な例を構成することによって示している。この結果は、解析的位相においてはこのような集合が開かつ稠密であることが知られているのと対照的であり、滑らかさと解析的性質における正のリヤプノフ指数の安定性に根本的な違いが存在することを示している。

ABSTRACT

One knows that the set of quasi-periodic Schrödinger cocycles with positive Lyapunov exponent is open and dense in the analytic topology. In this paper, we construct cocycles with positive Lyapunov exponent which can be approximated by ones with zero Lyapunov exponent in the space of ${\cal C}^ l$ ($1 \le l\le \infty$) smooth quasi-periodic cocycles. As a consequence, the set of quasi-periodic Schrödinger cocycles with positive Lyapunov exponent is not ${\cal C}^ l$ open.

研究の動機と目的

• 滑らかな準周期的シュレーディンガーコサイクルにおける正のリヤプノフ指数の位相的安定性を調査すること。
• $1 \leq l \leq \infty$ における $\mathcal{C}^l$ 位相において正のリヤプノフ指数集合が開であるかどうかという未解決問題を解明すること。
• $\mathcal{C}^l$ 準周期的コサイクルで正のリヤプノフ指数をもち、かつ零リヤプノフ指数をもつコサイクルで任意に近似可能な明示的例を構成すること。
• リヤプノフ指数の安定性に関して、解析的位相と滑らか位相の間の対比を明確にすること。

提案手法

• 著者らは、$SL(2,\mathbb{R})$-コサイクルの構造に基づく摂動的アプローチを用いて、正のリヤプノフ指数をもつ $\mathcal{C}^l$ 準周期的シュレーディンガー・コサイクルの族を構成した。
• 転送行列と角度パラメータ $\phi$ および $\theta$ を用いた再帰的構成により、行列ノルムの成長とリヤプノフ指数の振る舞いを制御した。
• 証明は、アバランチス・プリンシプルとサブハーモニック性技術から導かれる境界を用いて、行列ノルムおよび角度パラメータの導関数の推定に依存している。
• 主な推定では、$\|BA\|$ の $i$-階微分について、$\|A\|$、$\|B\|$、$\phi$、$\theta$ に関する推定が行われ、$d_k^{-i}$ および行列ノルムの逆数によって制御される減衰を示した。
• 構成では、$\omega$ が有界型であることを利用して、帰還時間に対する一様な制御を確保し、再帰的段階における反復回数の上限をとった。
• 区間 $I_k$ を繰り返し処理することで、角度関数 $\phi_{k+1,1}$ および $\psi_{k+1,1}$ の導関数に対する一様な境界を確立し、最終的に補題2.1における導関数推定に至った。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $1 \leq l \leq \infty$ における $\mathcal{C}^l$ 位相において、正のリヤプノフ指数をもつ $\mathcal{C}^l$ 準周期的シュレーディンガー・コサイクルの集合は開かか？
• RQ2 正のリヤプノフ指数をもつコサイクルは、$\mathcal{C}^l$ 位相において、零リヤプノフ指数をもつコサイクルで近似可能か？
• RQ3 準周期的シュレーディンガー・コサイクルにおいて、解析的位相と滑らか位相の間でリヤプノフ指数の挙動はどのように異なるか？
• RQ4 周波数 $\omega$ のディオファントス的または有界型条件が、このような近似列の構成において果たす役割は何か？
• RQ5 密度があるとしても、滑らか設定において正のリヤプノフ指数集合の開性に内在的な障害は存在するか？

主な発見

• $1 \leq l \leq \infty$ における任意の $\mathcal{C}^l$ 準周期的シュレーディンガー・コサイクルで正のリヤプノフ指数をもつ集合は、解析的の場合とは対照的に、開でない。
• 正のリヤプノフ指数をもつコサイクルが、$\mathcal{C}^l$ 位相において零リヤプノフ指数をもつコサイクルで任意に近似可能である明示的例が構成された。
• 主な障害は、リヤプノフ指数が正のままでも、滑らかカテゴリーにおいて角度関数 $\phi$ および $\psi$ の導関数推定の均一な制御が失敗することに起因する。
• 証明により、$\left| \frac{d^i}{dx^i} (\phi_{A,r^{+}_{k+1}}(x) - \phi_{A,r^{+}_{k}}(x)) \right| \leq C(i) \cdot |\theta_k - \pi/2|^{-i} \cdot \|A^{r^{+}_{k}}\|^{-2}$ が成り立ち、反復に伴い緩やかに減衰することが示された。
• 構成は、$\omega$ の有界型条件に依存しており、これにより反復回数 $s(x)$ が一様に有界であることが保証され、再帰的導関数推定が閉じるようになった。
• この結果により、滑らか位相におけるリヤプノフ指数の連続性および開性が、解析的設定におけるそれらと比べて根本的により繊細であることが示された。