[論文レビュー] Cardinalities of weakly Lindel\"of spaces with regular $G_\kappa$-diagonals

Ivan S. Gotchev|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、正則 $G_\kappa$-対角を持つUrysohn空間について、空間のサイズをその弱Lindelöf数、ほぼLindelöf数、性質、対角次数と関連付けることで、古典的な不等式を拡張し、新たな基数の上限を確立する。主な貢献は、このような空間に対して $|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$ および $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\Delta(X)}$ を示したことであり、正則 $G_\delta$-対角を持つ正規空間およびUrysohn空間に対する従来の上限を顕著に改善する。

ABSTRACT

For a Urysohn space $X$ we define the regular diagonal degree $\overline{\Delta}(X)$ of $X$ to be the minimal infinite cardinal $\kappa$ such that $X$ has a regular $G_\kappa$-diagonal i.e. there is a family $(U_\eta:\eta<\kappa)$ of open neighborhoods of $\Delta_X=\{(x,x)\in X^2:x\in X\}$ in $X^2$ such that $\Delta_X = \bigcap_{\eta<\kappa} \overline{U}_\eta$. In this paper we show that if $X$ is a Urysohn space then: (1) $|X|\leq 2^{c(X)\cdot\overline{\Delta}(X)}$; (2) $|X|\leq 2^{\overline{\Delta}(X)\cdot 2^{wL(X)}}$; (3) $|X|\le wL(X)^{\overline{\Delta}(X)\cdot\chi(X)}$; and (4) $|X|\le aL(X)^{\overline{\Delta}(X)}$; where $\chi(X)$, $c(X)$, $wL(X)$ and $aL(X)$ are respectively the character, the cellularity, the weak Lindel\"of number and the almost Lindel\"of number of $X$. The first inequality extends to the uncountable case Buzyakova's result that the cardinality of a ccc-space with a regular $G_\delta$-diagonal does not exceed $2^\omega$. It follows from (2) that every weakly Lindel\"of space with a regular $G_\delta$-diagonal has cardinality at most $2^{2^\omega}$. Inequality (3) implies that when $X$ is a space with a regular $G_\delta$-diagonal then $|X|\le wL(X)^{\chi(X)}$. This improves significantly Bell, Ginsburg and Woods inequality $|X|\le 2^{\chi(X)wL(X)}$ for the class of normal spaces with regular $G_\delta$-diagonals. In particular (3) shows that the cardinality of every first countable space with a regular $G_\delta$-diagonal does not exceed $wL(X)^\omega$. For the class of spaces with regular $G_\delta$-diagonals (4) improves Bella and Cammaroto inequality $|X|\le 2^{\chi(X)\cdot aL(X)}$, which is valid for all Urysohn spaces. Also, it follows from (4) that the cardinality of every space with a regular $G_\delta$-diagonal does not exceed $aL(X)^\omega$.

研究の動機と目的

• 可数性が正則 $G_\delta$-対角を持つccc空間に適用されるBuzyakovaの結果を、可数でない細分性へ一般化し、$|X| \leq 2^{\omega}$ という境界を $|X| \leq 2^{c(X) \cdot \Delta(X)}$ に拡張すること。
• 正規空間に対して成り立つBell, Ginsburg, and Woodsの不等式 $|X| \leq 2^{\chi(X) \cdot \operatorname{wL}(X)}$ を、正則 $G_\delta$-対角を持つ空間に対して $|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$ に改善すること。
• Urysohn空間に対して成り立つBellaとCammarotoの境界 $|X| \leq 2^{\chi(X) \cdot \operatorname{aL}(X)}$ を、同じ正則対角条件の下で $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\Delta(X)}$ に強化すること。
• 文献におけるギャップを埋めるために、正則 $G_\delta$-対角条件が標準的な $G_\delta$-対角よりも顕著に強く、基数の制限をより厳密にすることを示すこと。

提案手法

• 対角次数 $\Delta(X)$ を、$X^2$ 内で対角 $\Delta_X$ が $G_\kappa$-集合であるような最小の $\kappa$ として定義する。
• 点を星による被覆の入れ子構造 $\{U_\eta : \eta < \kappa\}$ を用いて分離するための構成を用い、$x \neq y$ に対して $\bigcap_{\eta < \kappa} \operatorname{st}(U_\eta(x,y), U_\eta) \cap \{y\} = \emptyset$ が成り立つようにする。
• 弱Lindelöf数およびほぼLindelöf数を用いて、これらの被覆における選択された集合の交わりの可能性のある数を制限する。
• 各点 $x$ が $\bigcap_{\eta < \kappa} D_{x,\eta}$ として再構成可能であることを示し、ここで $D_{x,\eta}$ は $\leq \operatorname{wL}(X)$ または $\operatorname{aL}(X)$ のサイズの部分族から選ばれる。
• このような交わりの可能性のある数を数え上げることで、基数の上限 $|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$ および $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\Delta(X)}$ を導出する。
• 異なる交わりの数が $\tau^\kappa$ で抑えられることを示し、ここで $\tau$ は弱Lindelöf数またはほぼLindelöf数、$\kappa = \Delta(X)$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則 $G_\delta$-対角を持つすべてのUrysohn空間に対して、不等式 $|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$ は成立するか？
• RQ2 正則 $G_\delta$-対角を持つ空間に対して、$|X| \leq 2^{\chi(X) \cdot \operatorname{wL}(X)}$ という境界を $|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$ に改善できるか？
• RQ3 正則 $G_\delta$-対角条件は、弱Lindelöf空間に対して $|X| \leq 2^{2^{\omega}}$ を保証するのに十分か？
• RQ4 ほぼLindelöf数 $\operatorname{aL}(X)$ は、正則 $G_\delta$-対角を持つUrysohn空間の基数を $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\Delta(X)}$ によって制限できるか？
• RQ5 正則 $G_\delta$-対角を持つ第一可算Urysohn空間の基数は $\operatorname{wL}(X)^{\omega}$ で抑えられるか？

主な発見

• 任意のUrysohn空間 $X$ に対して、$|X| \leq 2^{c(X) \cdot \Delta(X)}$ が成り立ち、Buzyakovaの結果を可算から非可算の場合に一般化する。
• 正則 $G_\delta$-対角を持つ任意の弱Lindelöf空間は $|X| \leq 2^{2^{\omega}}$ を満たし、正則 $G_\delta$-対角が標準的な $G_\delta$-対角よりも強い制限であることを示す。
• 任意の正則 $G_\delta$-対角を持つUrysohn空間に対して $|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$ が成り立ち、正規空間に対して成り立つBell, Ginsburg, and Woodsの境界 $|X| \leq 2^{\chi(X) \cdot \operatorname{wL}(X)}$ を改善する。
• 正則 $G_\delta$-対角を持つ第一可算Urysohn空間の基数は $\operatorname{wL}(X)^{\omega}$ 未満であり、従来の指数関数的境界よりも顕著に改善される。
• 任意の正則 $G_\delta$-対角を持つUrysohn空間に対して $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\Delta(X)}$ が成り立ち、BellaとCammarotoの不等式 $|X| \leq 2^{\chi(X) \cdot \operatorname{aL}(X)}$ を改善する。
• 任意のほぼLindelöfな正則 $G_\delta$-対角を持つUrysohn空間の基数は $2^{\omega}$ 未満であり、特に $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\omega}$ が成り立つ。