[論文レビュー] Cartan subalgebras and the UCT problem, II

Selçuk Barlak, Xin Li|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 49被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、C*-代数理論におけるUCT問題と、有限群作用下での不変Cartan部分代数の存在との間に深い関係を確立する。有限巡回群の外部的かつ強く近似的に内包的である作用に対して、Cuntz代数 $\mathcal{O}_2$ におけるクロスプロダクトがUCTを満たすための必要十分条件として、作用によって不変であるCartan部分代数の存在が得られ、これによりUCT問題がCartan部分代数を用いた新たな特徴付けがなされる。

ABSTRACT

We show that outer approximately represenbtable actions of a finite cyclic group on UCT Kirchberg algebras satisfy a certain quasi-freeness type property if the corresponding crossed products satisfy the UCT and absorb a suitable UHF algebra tensorially. More concretely, we prove that for such an action there exists an inverse semigroup of homogeneous partial isometries that generates the ambient C*-algebra and whose idempotent semilattice generates a Cartan subalgebra. We prove a similar result for actions of finite cyclic groups with the Rokhlin property on UCT Kirchberg algebras absorbing a suitable UHF algebra. These results rely on a new construction of Cartan subalgebras in certain inductive limits of Cartan pairs. We also provide a characterisation of the UCT problem in terms of finite order automorphisms, Cartan subalgebras and inverse semigroups of partial isometries of the Cuntz algebra $\mathcal{O}_2$. This generalizes earlier work of the authors.

研究の動機と目的

• UCT問題とC*-代数におけるCartan部分代数との関係を調査すること。
• 有限巡回群によるクロスプロダクトにおいてUCTが保存されるかを特定すること。
• 外部的かつ強く近似的に内包的である $\mathbb{Z}_p$-作用に対して、$\mathcal{O}_2$ における $\alpha$-不変Cartan部分代数の存在を用いてUCT問題を特徴付けること。
• 帰納的極限C*-代数におけるCartan部分代数の新しい構成法を開発すること。これは独立した価値を持つ。

提案手法

• Cartan部分代数を備えたC*-代数をねじれ付きエタール群体として特徴付けるRenaultの定理を用いる。
• クロスプロダクトから生じる $M_{p^\infty}$-吸収的Kirchberg代数を分析するためにKirchberg-Phillips分類定理を適用する。
• 特に $\mathcal{O}_2$ に対して、帰納的極限C*-代数におけるCartan部分代数の新しい構成法を用いる。
• 逆半群のタイトC*-代数の理論を用いて、適切な逆半群 $\mathcal{S}$ に対して $\mathcal{O}_2$ を $C^*_{\text{tight}}(\mathcal{S})$ として実現する。
• 近似代表的性と $KK$-同値性に関する結果を用いて、不変Cartan部分代数の存在とUCTとの関係を結ぶ。
• すべての分離的核的C*-代数がCartan部分代数を備えるならばUCTを満たすという事実（TuおよびRenaultの研究による）に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数 $p$ に対して、外部的かつ強く近似的に内包的である $\mathbb{Z}_p$-作用の下で、$\mathcal{O}_2$ における $\alpha$-不変Cartan部分代数の存在に帰着されるUCT問題は成立するか？
• RQ2 UCTが、$\mathcal{O}_2$ を生成する $\alpha$-均一な逆半群 $\mathcal{S}$ の存在、およびその $C^*$-代数が $\mathcal{O}_2$ と固定点代数 $\mathcal{O}_2^\alpha$ の両方におけるCartan部分代数であるという条件によって特徴付けられるか？
• RQ3 UCT問題は、$p=2$ または $p=3$ の場合に、すべての外部的かつ強く近似的に内包的 $\mathbb{Z}_p$-作用に対して、$\mathcal{O}_2$ におけるグローバルに不変なCartan部分代数の存在と同値であるか？
• RQ4 帰納的極限C*-代数におけるCartan部分代数の新しい構成法が、すべての分類可能な安定有限C*-代数を分類または実現するために用いられるか？

主な発見

• UCT問題は、すべての外部的かつ強く近似的に内包的 $\mathbb{Z}_p$-作用に対して、$\mathcal{O}_2$ における $\mathbb{Z}_p$-不変Cartan部分代数の存在と同値である。
• すべての素数 $p \geq 2$ に対して、クロスプロダクト $\mathcal{O}_2 \rtimes_\alpha \mathbb{Z}_p$ がUCTを満たすための必要十分条件は、$C^*(E)$ が $\mathcal{O}_2$ および $\mathcal{O}_2^\alpha$ の両方におけるCartan部分代数であるような $\alpha$-均一な逆半群 $\mathcal{S}$ が存在することである。このとき、近似代表的性を示すユニタリ行列は $C^*(E)$ に属する。
• 扱った作用のクラスは、UCT問題を特徴付けるのに十分に豊かである。$\mathcal{O}_2$ におけるすべてのこのような作用に対して、UCTクロスプロダクトが得られるための必要十分条件は、すべての分離的核的C*-代数がUCTを満たすという条件である。
• 帰納的極限C*-代数におけるCartan部分代数の新しい構成法は、独立した価値を持ち、すべての分類可能な単位的安定有限C*-代数におけるCartan部分代数の構成に応用されている。
• UCT問題は、$p=2$ または $p=3$ の場合に、すべての外部的かつ強く近似的に内包的 $\mathbb{Z}_p$-作用に対して、$\mathcal{O}_2$ におけるグローバルに不変なCartan部分代数の存在と同値であり、この特徴付けは定理4.16によりすべての素数に拡張可能である。
• 本結果は、UCT問題が $\mathcal{O}_2$ における不変Cartan部分代数の存在という幾何的位相的条件に帰着されることを確認し、作用素代数、力学系、位相幾何学を結びつける。