[論文レビュー] Topological higher-rank graphs and the $C^*$-algebras of topological 1-graphs

Trent Yeend|ArXiv.org|Sep 20, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 28被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、高ランクグラフと位相的グラフの両方を一般化する統一的枠組みとして、位相的高ランクグラフを導入する。群oids技法を用いて、これらの構造に対するトーペリッツ代数およびクンツ＝クリーガー代数を定義し、位相的グラフにおける既知の $C^*$-代数がこの構成によって回復され、高ランク設定への理論の整合的拡張がなされることを証明する。

ABSTRACT

We introduce the notion of a topological higher-rank graph, a unified generalization of the higher-rank graph and the topological graph. Using groupoid techniques, we define the Toeplitz and Cuntz-Krieger algebras of topological higher-rank graphs, and show that the $C^*$-algebras defined are coherent with the existing theory.

研究の動機と目的

• 高ランクグラフ $C^*$-代数の理論と位相的グラフ $C^*$-代数の理論を、一つの枠組みに統合すること。
• 頂点集合および辺集合に位相構造を組み込むことで、高ランクグラフの概念を一般化すること。
• 位相的高ランクグラフ $\Lambda$ からパス群oids $G_{\bar{\Lambda}}$ を定義し、コンパクト整合性のもとで局所コンパクトかつ $r$-離散となることを保証すること。
• 群oids $C^*$-代数構成法を用いて、$\Lambda$ のトーペリッツおよびクンツ＝クリーガー $C^*$-代数を構成すること。
• 1-グラフの場合に制限したとき、この構成が標準的な位相的グラフ $C^*$-代数を回復することを確認すること。

提案手法

• 位相的高ランクグラフ $\Lambda$ を、$d: \Lambda \to \mathbb{N}^k$ である度数関手を備えた圏と定義し、その射に局所コンパクトハウスドルフ位相を導入する。
• 無限パスの集合としてのパス空間 $X_\Lambda$ を定義し、シリンダ集合によって誘導される位相を備える。
• 単位空間が $X_\Lambda$ であるパス群oids $G_\Lambda$ を定義し、$x, y \in X_\Lambda$ および $m \in \mathbb{Z}^k$ に対して $\sigma^m x = y$ を満たす三重組 $(x, m, y)$ をその要素とする。
• 群oids $G_\Lambda$ が局所コンパクトかつ $r$-離散となり、範囲写像および出発写像が連続となるように、コンパクト整合性を持つ位相的高ランクグラフの概念を導入する。
• 群oids $G_\Lambda$ に数え上げ測度のハール系を備え、全群oids $C^*$-代数 $C^*(G_\Lambda)$ を定義する。この代数はトーペリッツ代数と呼ばれる。
• 閉じた $G_\Lambda$-不変部分集合 $\partial\Lambda \subset X_\Lambda$ を特定し、境界パス群oids $\mathcal{G}_\Lambda = G_\Lambda|_{\partial\Lambda}$ を定義する。その $C^*$-代数はクンツ＝クリーガー代数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群oids法を用いて、高ランクグラフと位相的グラフの両方を一般化する統一的枠組みを構築できるか。
• RQ2 グラフにどのような位相的条件を課すと、パス群oidsが局所コンパクトかつ $r$-離散となるか。
• RQ3 位相的高ランクグラフのトーペリッツおよびクンツ＝クリーガー代数は、既存の文献における構成とどのように関係するか。
• RQ4 位相的高ランクグラフに対する群oids $C^*$-代数構成法が、1-グラフに制限した場合に、標準的な位相的グラフ $C^*$-代数を回復するか。
• RQ5 $C^*$-代数にゲージ作用が存在するための条件は何か。これにより、ゲージ不変の一意性定理の適用が可能になる。

主な発見

• コンパクト整合性を持つ位相的高ランクグラフ $\Lambda$ のパス群oids $G_\Lambda$ は、ハール測度の系列を備えた局所コンパクトかつ $r$-離散な位相的群oidsである。
• 全群oids $C^*(G_\Lambda)$ は適切に定義されており、$\Lambda$ のトーペリッツ代数と呼ばれる。
• 境界パス群oids $\mathcal{G}_\Lambda = G_\Lambda|_{\partial\Lambda}$ は、局所コンパクトかつ $r$-離散な位相的群oidsであり、数え上げ測度の系列を備える。
• クンツ＝クリーガー代数は $C^*(\mathcal{G}_\Lambda)$ として定義され、既存の位相的グラフ $C^*$-代数理論と整合的である。
• 位相的1-グラフに制限した場合、クンツ＝クリーガー代数 $C^*(\mathcal{G}_\Lambda)$ は文献に定義された関連する位相的グラフの $C^*$-代数と一致する。
• ゲージ不変の一意性定理により、ホモロジー $\Phi_0 \times_{\mathcal{O}} \Phi_1: \mathcal{O}(E_\Lambda) \to C^*(\mathcal{G}_\Lambda)$ は全単射であり、したがって同型である。