[論文レビュー] Cartier crystals and perverse constructible étale $p$-torsion sheaves

Tobias Schedlmeier|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正標数 p における特異的スキーム上のカルティエ層に対して、解関手 Solκ を通じて、 perverse な可解的エタール p- torsion 層と結びつけるリーマン＝ヒルベルト対応を確立する。カルティエ層の間接拡張を構成し、Solκ がこれらの拡張を保存することを証明することで、局所的に有限生成単位加群と再統合形式主義を用いて、正標数設定における古典的 D-加群双対性を拡張する。

ABSTRACT

For an $F$-finite scheme $X$ separated over a perfect field $k$ of characteristic $p>0$ which admits an embedding into a smooth $k$-scheme, we establish an equivalence between the bounded derived categories of Cartier crystals on $X$ and constructible $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-sheaves on the étale site $X_{ ext{ét}}$. The key intermediate step is to extend the category of locally finitely generated unit $\mathcal{O}_{F,X}$-modules for smooth schemes introduced by Emerton and Kisin to embeddable schemes. On the one hand, this category is equivalent to Cartier crystals. On the other hand, by using Emerton-Kisin's Riemann-Hilbert correspondence, we show that it is equivalent to Gabber's category of perverse sheaves in $D_c^b(X_{ ext{ét}},\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$. Furthermore, we define intermediate extensions for Cartier crystals and show that our equivalence between Cartier crystals and perverse constructible étale sheaves commutes with the intermediate extension functor.

研究の動機と目的

• 滑らかな複素代数多様体におけるリーマン＝ヒルベルト対応を、正標数 p における特異的スキームへ拡張すること。
• 再統合形式主義を用いてカルティエ層の中間拡張を定義し、それらを研究すること。
• 解関手 Solκ と中間拡張の間の整合性を確立し、 perverse 構造の保存を保証すること。
• 局所的に有限生成単位加群を用いて、エモントン＝キシンの随伴形式主義とリーマン＝ヒルベルト対応を特異的スキームへ一般化すること。
• 特異的スキーム上でのカルティエ層と perverse な可解的エタール p- torsion 層の導来圏の同値性を提供すること。

提案手法

• 正標数における D-加群の代数的双対物として、Frobenius の引き戻しを用いて定義されるカルティエ層を用いる。
• 特異的スキームへのカルティエ加群の一般化として、局所的に有限生成単位 (lfgu) 加群を導入する。
• 開集合と閉集合の分解 X = U ∪ Z におけるエタール層の導来圏に再統合形式主義を適用する。
• 中間拡張 j!∗M を導来圏における自然な準同型 pj! → pj∗ の像として構成する。
• カルティエ層と perverse 層を結ぶために、解関手 Solκ: D⁺_crys(κ(X)) → D⁺_c(Ué t, ℤ/pℤ) を用いる。
• 再統合設定における随伴性と普遍性の議論を通じて、Solκ と中間拡張の整合性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数における特異的スキーム上のカルティエ層に対して、リーマン＝ヒルベルト対応を確立できるか？
• RQ2 解関手 Solκ におけるカルティエ層の中間拡張はどのように振る舞うか？
• RQ3 解関手 Solκ は、エタール層の導来圏において中間拡張と可換か？
• RQ4 lfgu 加群を用いて、エモントン＝キシンの随伴形式主義を特異的スキームへ一般化できるか？
• RQ5 特異的スキーム上での perverse な可解的エタール p- torsion 層とカルティエ層の正確な関係は何か？

主な発見

• 解関手 Solκ は、特異的スキーム上でのカルティエ層の導来圏と、 perverse な可解的エタール p- torsion 層の導来圏との間で同値を誘導する。
• カルティエ層の中間拡張 j!∗M は、閉補集合に支持される非自明な部分加群または商加群をもたない、唯一の拡張として特徴づけられる。
• カルティエ層上の中間拡張関手 j!∗ はモノモルフィズムとエピモルフィズムを保存するため、正確な列と整合する。
• Solκ は中間拡張と可換である：自然同型 j!∗∘Solκ ≅ Solκ∘j!∗ が存在し、解関手と中間拡張構成の整合性が保証される。
• 特異的スキーム上でのカルティエ層に対するリーマン＝ヒルベルト対応は、解関手 Solκ を通じて実現され、古典的対応を特異的かつ正標数設定へ拡張する。
• 再統合形式主義は、可解的コホロロジーをもつエタール層の導来圏に適用可能であり、中間拡張の構成とその普遍性の検証を可能にする。