[論文レビュー] Riemann-Hilbert correspondence for unit $F$-crystals on embeddable algebraic varieties

Sachio Ohkawa|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、正の特性 $p>0$ の完全体上の $W_n$-埋め込み可能な代数的多様体に対して、単位 $F$-crystal に対するリーマン＝ヒルベルト対応を確立する。これは、局域的に有限生成で、有限トール次元を持つ単位 $F$-crystal の有界導来圏と、$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$-加群の可 constructible エタール層の有界導来圏との反同型を示し、特徴的な埋め込みへの依存性がない。この構成は、エモートン＝キシンの理論を滑らかなリフトに限らない一般化する。

ABSTRACT

For a separated scheme $X$ of finite type over a perfect field $k$ of characteristic $p>0$ which admits an immersion into a proper smooth scheme over the truncated Witt ring $W_{n}$, we define the bounded derived category of locally finitely generated unit $F$-crystals with finite Tor-dimension on $X$ over $W_{n}$, independently of the choice of the immersion. Then we prove the anti-equivalence of this category with the bounded derived category of constructible étale sheaves of ${\mathbb Z}/{p^{n}{\mathbb Z}}$-modules with finite Tor dimension. We also discuss the relationship of $t$-structures on these derived categories when $n=1$. Our result is a generalization of the Riemann-Hilbert correspondence for unit $F$-crystals due to Emerton-Kisin to the case of (possibly singular) embeddable algebraic varieties in characteristic $p>0$.

研究の動機と目的

• 正の特性 $p>0$ の完全体上の $W_n$-埋め込み可能な代数的多様体へ、エモートン＝キシンの単位 $F$-crystal に対するリーマン＝ヒルベルト対応を滑らかな $W_n$-スキームから一般化すること。
• 滑らかで固有な $W_n$-スキームへの埋め込みに依存しない、$W_n$-埋め込み可能な多様体上の単位 $F$-crystal の導来圏を定義すること。
• リーマン＝ヒルベルト対応がグロテンディークの6つの操作、特に $f_+$、$f^!$、および $τ$-積を尊重することを証明すること。
• $\mathcal{D}$-加群側に、$W_n$-埋め込み可能な多様体に対してガブリエルの perverse $t$-構造に対応する $t$-構造を定義すること。
• リーマン＝ヒルベルト同型を通じて、$\mathcal{D}$-加群側の可 constructible $t$-構造が、エタール側の標準的 $t$-構造に対応することを示すこと。

提案手法

• 任意の埋め込み $X \hookrightarrow P$ に対して、$P$ が $W_n$ 上で固有で滑らかであるとき、$D^b_{\rm lfgu}(\mathcal{D}_{F,P})^\circ$ の複体のうち $X$ に台を持つ部分カテゴリとして、$X$ 上の単位 $F$-crystal の導来圏を定義する。この定義には、カシワラの定理およびその正の特性版（エモートン＝キシン）を用いる。
• この部分カテゴリが、埋め込み $X \hookrightarrow P$ の選択に依存しないこと、すなわち $D^b_{\rm lfgu}(X/W_n)^\circ$ と表記可能であることを証明する。
• リーマン＝ヒルベルト対応を、反同型 $D^b_{\rm lfgu}(X/W_n)^\circ \xrightarrow{\cong} D^b_{\rm ctf}(X_{\rm\acute{e}t}, \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})$ として構成する。
• グロテンディークの操作（$f_+$、$f^!$、$τ$-積）を $\mathcal{D}$-加群側に導入し、それがエタール側の $f_!$、$f^{-1}$、$τ$-積に対応することを証明する。
• 環境 $P$ の構造を用いて、$\mathcal{D}$-加群側に「可 constructible $t$-構造」と呼ばれる $t$-構造を定義し、それが $P$ の選択に依存しないことを証明する。
• 可 constructible $t$-構造が、リーマン＝ヒルベルト同型を通じて、$D^b_{\rm c}(X_{\rm\acute{e}t}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ 上の標準的 $t$-構造に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性 $p>0$ の完全体上の $W_n$-埋め込み可能な多様体へ、単位 $F$-crystal に対するリーマン＝ヒルベルト対応を滑らかな $W_n$-スキームから一般化できるか？
• RQ2 $W_n$-埋め込み可能な多様体上の単位 $F$-crystal の導来圏は、固有で滑らかな $W_n$-スキームへの埋め込みの選択に依存しないか？
• RQ3 リーマン＝ヒルベルト対応は、$W_n$-埋め込み可能な設定において、グロテンディークの6つの操作、特に $f_+$、$f^!$、$τ$-積を尊重するか？
• RQ4 $\mathcal{D}$-加群側に、$W_n$-埋め込み可能な多様体に対してエタール側の標準的 $t$-構造に対応する $t$-構造を定義できるか？
• RQ5 エタール側のガブリエルの perverse $t$-構造は、$W_n$-埋め込み可能な場合に、$\mathcal{D}$-加群側の標準的 $t$-構造に対応するか？

主な発見

• $W_n$-埋め込み可能な多様体 $X$ 上の、局所的に有限生成で有限トール次元を持つ単位 $F$-crystal の導来圏 $D^b_{\rm lfgu}(X/W_n)^\circ$ は、固有で滑らかな $W_n$-スキーム $P$ への埋め込みの選択に依存しない。
• リーマン＝ヒルベルト対応により、反同型 $D^b_{\rm lfgu}(X/W_n)^\circ \xrightarrow{\cong} D^b_{\rm ctf}(X_{\rm\acute{e}t}, \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})$ が誘導され、エモートン＝キシンの結果を滑らかでないリフト可能な多様体へ一般化する。
• リーマン＝ヒルベルト対応はグロテンディークの操作を尊重する：$f_+$ は $f_!$ に対応し、$f^!$ は $f^{-1}$ に対応し、$τ$-積は $τ$-積に対応する。
• $\mathcal{D}$-加群側に「可 constructible $t$-構造」と呼ばれる $t$-構造を定義し、環境 $P$ の構造を用いて、これが $P$ の選択に依存しないことを示した。
• 可 constructible $t$-構造は、リーマン＝ヒルベルト同型を通じて、$D^b_{\rm c}(X_{\rm\acute{e}t}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ 上の標準的 $t$-構造に対応する。
• $n=1$ の場合、$\mathcal{D}$-加群側の可 constructible $t$-構造は、エタール側のガブリエルの perverse $t$-構造に対応し、エモートン＝キシンの結果を $W_n$-埋め込み可能な多様体へ拡張する。