[論文レビュー] Cascade Connections of Linear Systems and Factorizations of Holomorphic Operator Functions Around a Multiple Zero in Several Variables

Dmitriy S. Kalyuzhniy|ArXiv.org|Feb 4, 2000

Holomorphic and Operator Theory参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、複素数変数の多変数関数において原点に多重零点をもつ正則作用素値関数の因子分解に関する基準を確立する。特に、多変数単位多面体上でのアグラー–シュールクラスにおいて、因子分解問題の可解性が、保存的多パrameter線形系における段階的分解の存在と関連していることを示し、このような因子分解が存在するための必要十分条件を提示する。

ABSTRACT

We show that the factorization problem $θ(z)=θ_2(z)θ_1(z)$ is solvable in the class of Hilbert space operator-valued functions holomorphic on some neighbourhood of $z=0$ in $ space{C}{N}$ and having a zero at $z=0$ (here $θ(z)$ has a multiple zero at $z=0$). Such a factorization problem becomes more complicated if we demand for $θ(z), θ_1(z)$ and $θ_2(z)$ to be Agler--Schur-class functions on the polydisk $ space{D}{N}$ and for the factorization identity to hold in $ space{D}{N}$. In this case we reduce it to the problem on the existence of a cascade decomposition for certain multiparametric linear system $α$--a conservative realization of $θ(z)$, and give the criterion for its solvability in terms of common invariant subspaces for the $N$-tuple of main operators of $α$.

研究の動機と目的

• 原点で多重零点をもつ $\mathbb{C}^N$ の近傍で正則な作用素値関数 $\theta(z)$ について、因子分解問題 $\theta(z) = \theta_2(z)\theta_1(z)$ の可解性を調査すること。
• この因子分解を、$\mathbb{D}^N$ 上のアグラー–シュールクラスへ拡張し、定義域全体で成立するように因子分解を満たすこと。
• 因子分解問題を、保存的多パrameter線形系における段階的分解の存在に還元すること。
• 因子分解の可解性を、系の $N$-重の主要作用素に対する共通不変部分空間の観点から特徴づけること。
• 系のユニタリコラージョンのスペクトル的性質と双対性を用いて、このような因子分解の必要十分条件を確立すること。

提案手法

• 論文は、保存的多パrameter線形系 $\alpha = (N; \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}; \mathcal{X}, \mathcal{U}, \mathcal{Y})$ を用い、正則作用素関数を伝達関数 $\theta_\alpha(z) = z\mathbf{D} + z\mathbf{C}(I - z\mathbf{A})^{-1}z\mathbf{B}$ として実現する。
• アグラー–シュールクラス $S_N^0(\mathcal{U}, \mathcal{Y})$ を適用し、これは $\mathbb{D}^N$ 上で正則で、$z=0$ で値が 0 であり、すべての可換な収縮作用素 $\mathbf{T}$ および $r < 1$ に対して $\|\theta(r\mathbf{T})\| \leq 1$ を満たす関数からなる。
• 主な手法は、保存的系 $\alpha$ を二つの部分系 $\alpha^{(1)}$ と $\alpha^{(2)}$ に段階的に分解する問題に因子分解問題を還元することであり、$\theta = \theta_{\alpha^{(2)}} \theta_{\alpha^{(1)}}$ が成り立つようにする。
• 状態空間 $\mathcal{X}_{cc}$ が、系の作用素が入力・出力空間に作用させたすべてのベクトルの閉線形包として生成される、密接に接続された保存的実現 $\alpha_{cc}$ の概念を導入する。
• 核心的な技術的道具は、すべての $A_k^{(cc)}$ に対して不変であり、かつコラージョン作用素 $\zeta\mathbf{G}_{\alpha_{cc}}$ の随伴を含む双対性条件を満たす、$\mathcal{X}_{cc}^{(2)} \subset \mathcal{X}_{cc}$ の還元可能な不変部分空間の同定である。
• 論文は、このような部分空間が存在するための必要十分条件が、ユニタリコラージョンのトーラス $\mathbb{T}^N$ 上でのスペクトル的性質と構造を用いて示され、因子分解がアグラー–シュールクラスで成立することと同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数 $\mathbb{C}^N$ 上の原点で多重零点をもつ正則作用素値関数 $\theta(z)$ が、$\mathbb{D}^N$ 上のアグラー–シュールクラスに属する $\theta_1, \theta_2$ を用いて $\theta(z) = \theta_2(z)\theta_1(z)$ と因子分解可能となる条件は何か？
• RQ2 因子分解問題は、保存的多パrameter線形系の構造とどのように関係しているか？
• RQ3 このような因子分解が存在するためのスペクトル的および不変部分空間的条件は何か？
• RQ4 因子分解は、系の状態空間の段階的分解によって実現可能か？
• RQ5 密接に接続された保存的実現は、このような因子分解の存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 因子分解 $\theta(z) = \theta_2(z)\theta_1(z)$ が $\mathbb{D}^N$ 上のアグラー–シュールクラスで可解であるための必要十分条件は、$\theta(z)$ の保存的実現 $\alpha_{cc}$ が、$N$-重の主要作用素 $\mathbf{A}_{cc}$ に対して還元可能な不変部分空間 $\mathcal{X}_{cc}^{(2)} \subset \mathcal{X}_{cc}$ をもつことである。
• 部分空間 $\mathcal{X}_{cc}^{(2)}$ はすべての $A_k^{(cc)}$ に対して不変で、かつ双対性条件 $\mathcal{V}_{cc} = (\zeta\mathbf{G}_{\alpha_{cc}})^*\mathcal{Y} \ominus \mathcal{X}_{cc}^{(2)}$ を満たさなければならない。ここで $\mathcal{V}_{cc}$ は、$\mathcal{X}_{cc}^{(2)}$ の像の随伴作用素による補空間である。
• このような部分空間 $\mathcal{X}_{cc}^{(2)}$ の存在は、因子分解がアグラー–シュールクラスで成立するための必要十分条件である。
• 論文は、$\mathcal{X}_{cc}^{(2)} = \{0\}$ であっても、因子分解が非自明になり得ることを示しており、左因子が非ゼロの線形同次関数である可能性がある。
• この基準は、$\mathcal{X}_{cc}^{(2)} = \mathcal{X}_{cc} \cap \mathcal{X}^{(2)}$ のような異なる $\mathcal{X}_{cc}^{(2)}$ の構成に対しても不変であり、同じスペクトル的および双対性条件を満たす限り、部分空間は有効である。
• 本研究は、古典的因子分解理論を多変数設定に一般化し、作用素論的因子分解と保存的線形系の不変部分空間構造を結びつける。