[論文レビュー] CAT(0) cubical complexes for graph products of finitely generated abelian groups

Kim Ruane, Stefan Witzel|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の有限グラフ積のファイニート生成アーベル群に対して、その作用が適切かつ共compactであるCAT(0)立方複体を構成する。この構成は、右側アーベル自由群のためのサルベッティ複体と、右側コクセター群のためのコクセター複体を一般化し、統一的な幾何的モデルを提供するとともに、このようなグラフ積がバーチャルに共compact特別であることを示す新しい証明を提示する。

ABSTRACT

We show that every graph product of finitely generated abelian groups acts properly and cocompactly on a CAT(0) cubical complex. The complex generalizes (up to subdivision) the Salvetti complex of a right-angled Artin group and the Coxeter complex of a right-angled Coxeter group. In the right-angled Artin group case it is related to the embedding into a right-angled Coxeter group described by Davis and Januszkiewicz. We compare the approaches and also adapt the argument that the action extends to finite index supergroup that is a graph product of finite groups.

研究の動機と目的

• 有限生成アーベル群の有限グラフ積が、適切かつ共compactに作用するCAT(0)立方複体を構成すること。
• 右側アーベル自由群のためのサルベッティ複体と、右側コクセター群のためのコクセター複体を統合的に一般化した一つの幾何的モデルを提供すること。
• 有限生成アーベル群のグラフ積がバーチャルに共compact特別であることを示す代替的証明を提供すること。
• 群論的構成と、半直積を用いたコセット複体構成を通じた幾何的作用との間の関係を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、頂点ラベルが $ \mathbb{N} \cup \{\infty\} $ に値をとる巡回群のグラフ積 $ G(\Gamma) $ を定義し、可換な生成元同士が辺で結ばれる関係を導入する。
• 有限と無限の巡回生成元を区別できるようにする長さ関数を導入し、言語的問題の精密な解析を可能にする。
• 有限頂点群の元と、無限巡回生成元 $ s $ に対する $ \langle s \rangle $、$ \langle s^{-1} \rangle $ で生成される部分群のコセット複体として、立方複体 $ X(\Gamma) $ を構成する。
• 群 $ G(\Gamma^{\prime\prime}) $ を用いて構成を拡張し、これは $ G(\Gamma) $ と $ E $ からなる半直積で、$ (s,0) $ で生成される。これにより作用がより大きな群に持ち上げられる。
• 第三の複体 $ Y $ を、$ G(\Gamma^{\prime\prime}) $ の部分群のコセットの順序集合の実現として定義し、これが $ X(\Gamma) $ および $ X(\Gamma^\prime) $ と等変同型であることを示す。
• 主な技術的ステップとして、ティーツェ変換と半直積分解を用い、群 $ G(\Gamma^{\prime\prime}) $ が $ X(\Gamma) $ および $ X(\Gamma^\prime) $ に作用し、同型性を保つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限生成アーベル群の有限グラフ積は、CAT(0)立方複体上の幾何的作用として実現可能か？
• RQ2 提案された立方複体は、右側アーベル自由群や右側コクセター群の古典的サルベッティ複体およびコクセター複体とどのように関係するか？
• RQ3 ダヴィス–ヤヌシュチェヴィッチ埋め込み法を拡張する、統一的な群論的構成が存在するか？
• RQ4 この構成により、このようなグラフ積がバーチャルに共compact特別であることを示す新しい証明が得られるか？

主な発見

• 構成された立方複体 $ X(\Gamma) $ は可縮であり、$ G(\Gamma) $ による適切かつ共compactな作用をもつため、群の幾何的モデルとなる。
• 複体 $ X(\Gamma) $ は、右側アーベル自由群のためのサルベッティ複体と、右側コクセター群のためのコクセター複体の両方を一般化する。
• $ G(\Gamma) $ の $ X(\Gamma) $ への作用は、有限指数の上位群 $ G(\Gamma^{\prime\prime}) $ に拡張可能であり、これは有限群と無限巡回群のグラフ積である。
• $ X(\Gamma) $ は、$ G(\Gamma^{\prime\prime}) $ に関連するコセット複体 $ Y $ と等変同型であることが示され、ダヴィス–ヤヌシュチェヴィッチ構成への群論的橋渡しを確立する。
• この構成により、有限生成アーベル群のグラフ積がバーチャルに共compact特別であることを示す代替的証明が得られ、Kim (2012) の結果を確認する。