[論文レビュー] Categorical actions on unipotent representations I. Finite unitary groups

Olivier Dudas, Michela Varagnolo+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、非定義的特徴において有限ユニタリ群の単位的表現の圏に Kac-Moody代数の圏的作用を構成し、その脱カテゴリフィケーションされた表現がレベル2の Fock 空間の直和と同型であることを示している。ハリシュ・チャンドラの分岐グラフがこれらの Fock 空間のクリスタルグラフと一致することを証明し、Gerber-Hiss-Jacon の予想を確認した。また、線形素数における単位的 ℓ-ブロックに対して、ブロック間の導来同値を確立し、Broué のアーベル的デフェクト群の予想を支持した。

ABSTRACT

Using Harish-Chandra induction and restriction, we construct a categorical action of a Kac-Moody algebra on the category of unipotent representations of finite unitary groups in non-defining characteristic. We show that the decategorified representation is naturally isomorphic to a direct sum of level 2 Fock spaces. From our construction we deduce that the Harish-Chandra branching graph coincide with the crystal graph of these Fock spaces, solving a recent conjecture of Gerber-Hiss-Jacon. We also obtain derived equivalences between blocks, yielding Broué's abelian defect groups conjecture for unipotent $\ell$-blocks at linear primes $\ell$.

研究の動機と目的

• 非定義的特徴における有限ユニタリ群の単位的表現の圏に Kac-Moody代数の圏的作用を構成すること。
• 脱カテゴリフィケーションされた表現がレベル2の Fock 空間の直和と同型であることを示すこと。
• 有限ユニタリ群の単位的表現のハリシュ・チャンドラ分岐グラフが、これらの Fock 空間のクリスタルグラフと一致することを証明し、Gerber-Hiss-Jacon の予想を解決すること。
• 線形素数における有限ユニタリ群の単位的 ℓ-ブロックのブロック間の導来同値を確立し、Broué のアーベル的デフェクト群の予想を支持すること。

提案手法

• ハリシュ・チャンドラ誘導および制限関手を用いて、単位的表現の圏上の随伴対 (E, F) の関手を定義する。
• 特徴が0の体上の単位的表現の圏 𝒰K に、Kac-Moody代数 𝔤∞ の圏的表現を構成する。
• 正の特徴 ℓ ∤ q における単位的表現の圏 𝒰k に、代数 𝔤e の圏的作用を定義する。
• 弱ハリシュ・チャンドラ理論を用いて表現をパラメトライズし、Fock 空間上のヘイゼンベルク代数作用をカテゴリフィケーションする関手を定義する。
• クリスタルグラフと分岐則を介して、既約表現と Fock 空間内の基底ベクトルとの間の対応を確立する。
• グロテンディーク群におけるヘイゼンベルク代数作用と Kac-Moody作用が可換であることを証明し、ヘイゼンベルク作用のカテゴリフィケーションに関する予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限ユニタリ群の単位的表現のハリシュ・チャンドラ分岐グラフは、レベル2の Fock 空間のクリスタルグラフと一致するか？
• RQ2 非定義的特徴における有限ユニタリ群の単位的表現の圏に Kac-Moody代数の圏的作用を構成できるか？
• RQ3 線形素数における有限ユニタリ群の単位的 ℓ-ブロックの導来圏は、Broué のアーベル的デフェクト群の予想が予測する導来同値を満たすか？
• RQ4 グロテンディーク群におけるヘイゼンベルク代数作用のカテゴリフィケーションは、Kac-Moody作用と可換になるか？
• RQ5 圏 𝒰k における余単位的単位的表現は、ヘイゼンベルク作用の下でグロテンディーク群における最高重量ベクトルに正確に一致するか？

主な発見

• 単位的表現における圏的作用の脱カテゴリフィケーションされた表現は、自然にレベル2の Fock 空間の直和と同型である。
• 有限ユニタリ群の単位的表現のハリシュ・チャンドラ分岐グラフは、対応する Fock 空間のクリスタルグラフと同型であり、Gerber-Hiss-Jacon の最近の予想を確認した。
• 線形素数 ℓ における有限ユニタリ群の単位的 ℓ-ブロックのブロック間で導来同値を確立し、Broué のアーベル的デフェクト群の予想を支持した。
• 正の特徴における単位的表現の圏のグロテンディーク群には、ヘイゼンベルク代数と Kac-Moody代数の可換作用が存在し、Fock 空間表現をカテゴリフィケーションする。
• 既約余単位的表現の集合は、ヘイゼンベルク作用の下でグロテンディーク群における最高重量ベクトルに正確に一致し、予想と一致した。
• グロテンディーク群におけるヘイゼンベルク代数作用のカテゴリフィケーションは、関手 Aν および A*ν を通じて実現され、これらが Fock 空間表現における演算子 aν および a*ν に対応することが示された。