[論文レビュー] Categorical centers and Reshetikhin-Turaev invariants

Alain Bruguières, Alexis Virelizier|ArXiv.org|Dec 12, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、代数的閉体や圏の次元が可逆であるという要件を課さずに、任意の可換環上でのカテゴリカル中心のモジュラリティに関する Müger の定理を一般化する。Reshetikhin-Turaev 不変量 $\mathrm{RT}_{\mathcal{Z}(\mathcal{C})}(M)$ を、元の球面的圏 $\mathcal{C}$ 内のホップ図と構造的準同型を用いて明示的なアルゴリズムで計算する手法を構築し、$\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ の単純対象の知識なしに計算を可能にする。主な貢献は、$\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ のコエンド上の正規化積分を用いて、$\mathrm{RT}_{\mathcal{Z}(\mathcal{C})}(M)$ を直接 $\mathcal{C}$ から計算する方法を提供することであり、Lyubashenko 不変量の枠組みを拡張する。

ABSTRACT

The center Z(C) of a spherical fusion category C (over an arbitrary commutative ring) is modular. We give an algorithm for computing the Reshetikhin-Turaev invariant defined with Z(C). It is based on Hopf diagrams and an explicit description of the structure of the coend of Z(C).

研究の動機と目的

• 任意の可換環上でのカテゴリカル中心のモジュラリティを一般化し、体の代数的閉性や圏の次元の可逆性の要件を除去すること。
• Reshetikhin-Turaev 不変量 $\mathrm{RT}_{\mathcal{Z}(\mathcal{C})}(M)$ を、$\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ の単純対象の知識を必要とせずに、元の圏 $\mathcal{C}$ 内で直接計算するためのアルゴリズムを提供すること。
• ホップ図と構造的準同型を用いて、$\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ のコエンドを通じて、3次元多様体の量子不変量を計算可能な枠組みを確立すること。

提案手法

• リボン圏における量子不変量の Lyubashenko のコエンド構成を活用し、$\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ 内のホップ代数としてのコエンド $C = \int^{X \in \mathcal{Z}(\mathcal{C})} \leftidx{{}^\vee}{\!X}{} \otimes X$ を用いる。
• ホップ図に基づく明示的アルゴリズムを適用し、$\mathcal{C}$ 内の準同型を用いて不変量 $\tau_{\mathcal{Z}(\mathcal{C})}(M; \Lambda)$ を計算し、トゥールの構造を代数的に符号化する。
• $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ を $\mathcal{C}$ 上のホップモノイド $Z$ の加群の圏として構成し、カテゴリカル中心の代数的解釈を提供する。
• ホップモノイドに対する一般化された Drinfeld ダブルの概念を導入し、$\mathcal{C}$ を用いて $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ のコエンドの明示的記述を可能にする。
• $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ のコエンド $C$ 上に、$S_C$-不変な標準的積分 $\Lambda$ を特定し、これは不変量の計算に用いられる正規化された Kirby 要素である。
• $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ のコエンド上のホップ双線形形式 $\omega_C$ の非退化性を用いてモジュラリティを定義し、古典的定義を非半単純および代数的閉体でない状況に一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の可換環上、$\mathcal{C}$ の次元が可逆であるか、$\Bbbk$ が代数的閉体であることを仮定せず、カテゴリカル中心 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ のモジュラリティを確立できるか。
• RQ2 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ を単純対象に分解することなく、元の圏 $\mathcal{C}$ 内で直接 $\mathrm{RT}_{\mathcal{Z}(\mathcal{C})}(M)$ を計算するための計算可能なアルゴリズムが存在するか。
• RQ3 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ のコエンドを、特にホップモノイドに対する一般化された Drinfeld ダブル構成を用いて、$\mathcal{C}$ 内の構造を用いて明示的に記述できるか。
• RQ4 $\tau_{\mathcal{Z}(\mathcal{C})}(M; \Lambda)$ はホップ図と $\mathcal{C}$ 内の準同型を用いて計算可能であり、標準的な正規化のもとで $\mathrm{RT}_{\mathcal{Z}(\mathcal{C})}(M)$ と一致するか。
• RQ5 $\dim \mathcal{C}$ が可逆でない場合に、$\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ のコエンド上の積分 $\Lambda$ が、well-defined な3次元多様体不変量を定義する上で果たす役割は何か。

主な発見

• $\Bbbk$ を任意の可換環とするとき、任意の球面的ファージョン圏 $\mathcal{C}$ の中心 $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ はモジュラーである。これは、代数的閉体や次元が可逆であるという要件を課さない Müger の結果の一般化である。
• $\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ のコエンド $C$ には、$S_C$-不変な標準的積分 $\Lambda$ が存在し、これは正規化された Kirby 要素として機能し、不変量 $\tau_{\mathcal{Z}(\mathcal{C})}(M; \Lambda)$ の構成を可能にする。
• $\dim \mathcal{C}$ が可逆でない場合でも、不変量 $\tau_{\mathcal{Z}(\mathcal{C})}(M; \Lambda)$ は well-defined であり、Reshetikhin-Turaev の構成の適用範囲を拡張する。
• $M = S^3$ の場合、$\tau_{\mathcal{Z}(\mathcal{C})}(S^3; \Lambda) = 1$ であり、$M = S^2 \times S^1$ の場合、$\dim \mathcal{C}$ に等しくなる。これは明示的な基本ケースを提供する。
• $\Bbbk$ が代数的閉体であり、$\dim \mathcal{C}$ が可逆である場合、$\tau_{\mathcal{Z}(\mathcal{C})}(M; \Lambda)$ は、正規化を除いて標準的な Reshetikhin-Turaev 不変量 $\mathrm{RT}_{\mathcal{Z}(\mathcal{C})}(M)$ と一致する。
• $\mathrm{RT}_{\mathcal{Z}(\mathcal{C})}(M)$ のすべての計算は、ホップ図に符号化された明示的準同型を用いて $\mathcal{C}$ 内で行うことができ、$\mathcal{Z}(\mathcal{C})$ の単純対象を分類する必要がなくなる。