[論文レビュー] The double of a Hopf monad

Alain Bruguières, Alexis Virelizier|ArXiv.org|Dec 12, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、自己双対な圏上のホプフモノイドに対する「二重」を導入し、非ブラケット的状況へのドリンフェルト二重構成の一般化を行う。ホプフモノイドのモジュール圏の中心が、この二重のモジュール圏と同値であることを確立し、特に量子トポロジーおよびモジュラーテンソル圏において有用な、中心のコエンドを元のモノイド構造を用いて明示的に記述する。

ABSTRACT

The center Z(C) of an autonomous category C is monadic over C (if certain coends exist in C). The notion of Hopf monad naturally arises if one tries to reconstruct the structure of Z(C) in terms of its monad Z: we show that Z is a quasitriangular Hopf monad on C and Z(C) is isomorphic to the braided category Z-C of Z-modules. More generally, let T be a Hopf monad on an autonomous category C. We construct a Hopf monad Z_T on C, the centralizer of T, and a canonical distributive law of T over Z_T. By Beck's theory, this has two consequences. On one hand, D_T=Z_T T is a quasitriangular Hopf monad on C, called the double of T, and Z(T-C)= D_T-C as braided categories. As an illustration, we define the double D(A) of a Hopf algebra A in a braided autonomous category in such a way that the center of the category of A-modules is the braided category of D(A)-modules (generalizing the Drinfeld double). On the other hand, the canonical distributive law also lifts Z_T to a Hopf monad on T-C which gives the coend of T-C. Hence, for T=Z, an explicit description of the Hopf algebra structure of the coend of Z(C) in terms of the structural morphisms of C, which is useful in quantum topology.

研究の動機と目的

• 自己双対な圏上の任意のホプフモノイドへドリンフェルト二重構成を一般化すること。
• 元の圏 $ \mathcal{C} $ 及びそのホプフモノイド構造を用いて、中心圏 $ \mathcal{Z}(C) $ のコエンドの明示的記述を提供すること。
• ホプフモノイドの二重のモジュール圏と中心のモジュール圏の間のブラケット同値を確立すること。
• ベックの分配則理論をホプフモノイドへ拡張し、互換性のある構造を持つモノイドの上げと合成を可能にする。
• ブラケット的圏におけるホプフ代数へこの枠組みを適用し、標準的なドリンフェルト二重を特別な場合として回復すること。

提案手法

• 自己双対な圏 $ \mathcal{C} $ 上のホプフモノイド $ T $ の中心化子 $ Z_T $ をコエンド $ \int^{Y} {}^\vee T(Y) \otimes X \otimes Y $ として定義し、これがホプフモノイド構造を誘導することを示す。
• ホプフモノイドの随伴性および正確性の性質を用いて、$ T $ と $ Z_T $ 間の整合性を記述する標準的分配則 $ \Omega: TZ_T \to Z_T T $ を構成する。
• ベックの分配則理論を用いて、$ Z_T $ を $ T\mbox{-}\mathcal{C} $ 上のホプフモノイド $ \tilde{Z}_T^\Omega $ に上げ、$ T\mbox{-}\mathcal{C} $ のコエンドが $ Z_T(\mathbb{1}) $ に同型であり、$ \Omega $ から導かれる構造射を持つことを示す。
• 分配則 $ \Omega $ を用いて、双関手的ホプフモノイド構造を備えた合成モノイド $ D_T = Z_T \circ_\Omega T $ として二重 $ D_T $ を定義する。
• $ D_T\mbox{-}\mathcal{C} \simeq \mathcal{Z}(T\mbox{-}\mathcal{C}) $ がブラケット圏として同値であることを証明し、中心的結果を確立する。
• ブラケット的自己双対圏におけるホプフ代数へこの構成を適用し、ホプフ代数 $ A $ の二重 $ D(A) $ が $ D(A)\mbox{-}\mathcal{C} \simeq \mathcal{Z}(A\mbox{-}\mathcal{C}) $ を満たすことを示し、標準的なドリンフェルト二重を特別な場合として回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリンフェルト二重構成は、ホプフ代数を超えて、自己双対な圏上の任意のホプフモノイドへどのように一般化できるか？
• RQ2 中心圏 $ \mathcal{Z}(T\mbox{-}\mathcal{C}) $ のコエンドの構造は何か？ そして、元のモノイド $ T $ を用いて明示的に記述できるか？
• RQ3 $ T $ とその中心化子 $ Z_T $ 間の標準的分配則 $ \Omega $ は、$ Z_T $ を $ T $-モジュール圏へ上げ、そこでのホプフモノイドを構成するために使用可能か？
• RQ4 二重 $ D_T = Z_T \circ_\Omega T $ は中心 $ T\mbox{-}\mathcal{C} $ とどのように関係し、どのようなブラケット構造を備えているか？
• RQ5 中心 $ \mathcal{Z}(\mathcal{C}) $ のコエンドは、レシティヒン＝トゥレイツ不変量の計算において果たす役割は何か？ そして、代数的にどのように計算できるか？

主な発見

• 二重 $ D_T = Z_T \circ_\Omega T $ は $ \mathcal{C} $ 上のクェイジトライアングルホプフモノイドであり、ブラケット同値 $ D_T\mbox{-}\mathcal{C} \simeq \mathcal{Z}(T\mbox{-}\mathcal{C}) $ が成り立つ。
• $ T\mbox{-}\mathcal{C} $ のコエンドは、対象として $ Z_T(\mathbb{1}) $ に同型であり、構造射は $ Z_T(T_0) \circ \Omega_{\mathbb{1}} $ で与えられる。
• $ T = Z $ であるとき、即ち $ \mathcal{C} $ 上の中心モノイドであるとき、$ \mathcal{Z}(\mathcal{C}) $ のコエンドは $ Z_Z(\mathbb{1}) $ に一致し、そのホプフ代数構造は $ \mathcal{C} $ の構造射を用いて明示的に記述できる。
• 標準的分配則 $ \Omega: TZ_T \to Z_T T $ は可逆かつコモノイド的であり、$ Z_T $ を $ T\mbox{-}\mathcal{C} $ 上のホプフモノイドに上げるのを可能にする。
• 圏 $ \mathcal{C} $ が球面的ファージョン圏であるとき、$ \mathcal{Z}(\mathcal{C}) $ のコエンドがモジュラーであることが示され、ムーゲル（2003）の結果が新しい方法で回復される。
• この枠組みにより、任意の基本環上でのレシティヒン＝トゥレイツ不変量の計算が可能となり、特に圏の次元が可逆でない場合でも、ホプフ図式を用いてコエンド構造を代数的に計算できる。