[論文レビュー] Categorical, Homological and Combinatorial Methods in Algebra

Sergio Estrada, Alina Iacob+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、R-加群上の既知のアーベルモデル構造を一般化し、右R-加群の族𝔹に関するGorenstein 𝔹-平坦加群を導入することで、これらの加群が射影的ターモロジーペアをなす条件を確立し、相対的モデル構造を構成する。この枠組みは加群の複体へと拡張され、得られたモデル構造のホモトピー圏が比較される。

ABSTRACT

A recent result by J. Saroch and J. Sťov\'icek asserts that there is a unique abelian model structure on the category of left $R$-modules, for any associative ring $R$ with identity, whose (trivially) cofibrant and (trivially) fibrant objects are given by the classes of Gorenstein flat (resp., flat) and cotorsion (resp., Gorenstein cotorsion) modules. In this paper, we generalise this result to a certain relativisation of Gorenstein flat modules, which we call Gorenstein $\mathcal{B}$-flat modules, where $\mathcal{B}$ is a class of right $R$-modules. Using some of the techniques considered by Saroch and Sťov\'icek, plus some other arguments coming from model theory, we determine some conditions for $\mathcal{B}$ so that the class of Gorenstein $\mathcal{B}$-modules is closed under extensions. This will allow us to show approximation properties concerning these modules, and also to obtain a relative version of the model structure described before. Moreover, we also present and prove our results in the category of complexes of left $R$-modules, study other model structures on complexes constructed from relative Gorenstein flat modules, and compare these models via computing their homotopy categories.

研究の動機と目的

• Gorenstein平坦およびコトロスン加群に関する既知のR-加群上のアーベルモデル構造を、Gorenstein 𝔹-平坦加群を用いた相対的バージョンへ拡張すること。
• Gorenstein 𝔹-平坦加群の族が拡張に関して閉じるような、右R-加群の族𝔹に関する条件を同定すること。
• 近似性質を確立し、Gorenstein 𝔹-平坦およびGorenstein 𝔹-コトロスン加群に基づく相対的アーベルモデル構造を構成すること。
• 結果を左R-加群の複体の圏へ拡張し、相対的Gorenstein平坦加群から生じる複数のモデル構造を分析すること。
• 相対的Gorensteinホモロジー代数のためのカテゴリカルな枠組みを提供するために、得られたモデル構造のホモトピー圏を比較すること。

提案手法

• SarochとSťov´icekによるアーベルモデル構造の技法を、右R-加群の族𝔹を含む相対的設定へ適応すること。
• 定義可能なクラスを分析し、Gorenstein 𝔹-平坦加群の拡張に関しての閉じる性質を保証するために、モデル理論的議論を適用すること。
• 𝔹からの加群を用いた分解を介して定義される相対的Gorenstein平坦加群（Gorenstein 𝔹-平坦）の概念を用いること。
• 𝔹が直接極限に関して閉じた分解可能クラスである場合、Gorenstein 𝔹-平坦加群の族が拡張に関して閉じていることを確立すること。
• Gorenstein 𝔹-平坦加群に属する被覆的対象とGorenstein 𝔹-コトロスン加群に属する被覆的対象を持つ相対的アーベルモデル構造を構成すること。
• 射影的および入射的分解を導来圏で用いることで、R-加群の複体の圏への構成を拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右R-加群の族𝔹に関して、Gorenstein 𝔹-平坦加群の族が拡張に関して閉じる条件は何か？
• RQ2 被覆的対象がGorenstein 𝔹-平坦で、被覆的対象がGorenstein 𝔹-コトロスン加群であるような相対的アーベルモデル構造を構成できるか？
• RQ3 相対的Gorenstein平坦加群から構成される複数のモデル構造のホモトピー圏はどのように比較できるか？
• RQ4 古典的モデル構造を、自明な族ではなく、加群の族𝔹を用いて相対化することはどの程度可能か？
• RQ5 相対ホモロジー代数の文脈において、Gorenstein 𝔹-平坦加群の近似性質は何か？

主な発見

• 𝔹が直接極限に関して閉じた分解可能クラスである場合、Gorenstein 𝔹-平坦加群の族は拡張に関して閉じている。
• 左R-加群の圏において、被覆的対象がGorenstein 𝔹-平坦で、被覆的対象がGorenstein 𝔹-コトロスン加群であるような相対的アーベルモデル構造が存在する。
• 𝔹が分解可能で、あるホモロジー的条件を満たす場合、モデル構造は遺伝的である。
• SarochとSťov´icekの古典的モデル構造は、族𝔹を用いた相対的設定へ一般化される。
• R-加群の複体の圏において、相対的Gorenstein平坦加群から複数のモデル構造が生じ、それらのホモトピー圏は準同型写像を介して比較される。
• 相対的モデル構造のホモトピー圏は、Gorenstein 𝔹-平坦コホモロジーを持つ複体の完全な部分圏と同値である。