[論文レビュー] Categorification of tensor powers of the vector representation of $U_q(\mathfrak{gl}(1|1))$

Antonio Sartori|arXiv (Cornell University)|May 27, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 45被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、BGGカテゴリ $\mathcal{O}(\mathfrak{gl}_n)$ の部分商カテゴリを用いて、量子スーパ algebra $U_q(\mathfrak{gl}(1|1))$ のベクトル表現のテンソル冪のカテゴリフィケーションを構成する。相互作用作用素の図式計算を導入し、グローテンディーク群が表現を実現する三角化カテゴリを確立する。このカテゴリには、量子群およびヘッケ代数の作用をカテゴリフィケーションする自己関手が存在する。

ABSTRACT

We consider the monoidal subcategory of finite dimensional representations of $U_q(\mathfrak{gl}(1|1))$ generated by the vector representation, and we provide a diagram calculus for the intertwining operators, which allows to compute explicitly the canonical basis. We construct then a categorification of these representations and of the action of both $U_q(\mathfrak{gl}(1|1))$ and the intertwining operators using subquotient categories of the BGG category $\mathcal{O}(\mathfrak{gl}_n)$.

研究の動機と目的

• 量子スーパ algebra $U_q(\mathfrak{gl}(1|1))$ のベクトル表現のテンソル冪の表現論的カテゴリフィケーションの構築。
• この文脈における相互作用作用素の図式計算の提供により、正規基底の明示的計算を可能にする。
• グローテンディーク群が $V^{\bigotimes n}$ に同型である三角化カテゴリの構成。このカテゴリ上での自己関手が、$U_q(\mathfrak{gl}(1|1))$ およびヘッケ代数 $\mathcal{H}_n$ の作用をカテゴリフィケーションする。
• $\mathfrak{gl}(1|1)$ の表現の非半単純性に対処するため、ベクトル表現を含むがその双対を含まない半単純モノイダル部分カテゴリに注目する。

提案手法

• 構成は、BGGカテゴリ $\mathcal{O}(\mathfrak{gl}_n)$ の部分商カテゴリを用いてカテゴリフィケーションを実現する。
• 誘導ヘッケ加群および適切にストラティファイド代数の構造に基づいた、相互作用作用素の図式計算が開発される。
• $\mathcal{D}^{\nabla}\mathcal{Q}(\mathbbold{n})$ という三角化カテゴリ上で自己関手 $\mathcal{E}$, $\mathcal{F}$, および $\mathcal{C}_i$ が定義され、$\mathcal{E}^2 = \mathcal{F}^2 = 0$ を満たす。
• $\mathcal{D}^{\nabla}\mathcal{Q}(\mathbbold{n})$ のグローテンディーク群が $V^{\bigotimes n}$ に同型であることが示され、$\mathcal{E}$, $\mathcal{F}$, および $\mathcal{C}_i$ の作用が、量子群およびヘッケ代数の作用を上に持ち上げる。
• カテゴリフィケーションがウェブで定義される準同型と可換であることが証明され、完成化されたグローテンディーク群における図式 (7.59) の可換性により、$V^{\bigotimes n}$ 上の量子群およびヘッケ代数の作用が回復される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $\mathfrak{gl}_n$ の表現論を用いて、$U_q(\mathfrak{gl}(1|1))$ のベクトル表現のテンソル冪をカテゴリフィケーションできるか？
• RQ2 この文脈で正規基底を計算するのに用いることができる図式計算は何か？
• RQ3 $U_q(\mathfrak{gl}(1|1))$ およびヘッケ代数 $\mathcal{H}_n$ の作用が、三角化カテゴリ上の関手にどのように持ち上げられるか？
• RQ4 非半単純性は $\mathfrak{gl}(1|1)$ の表現のカテゴリフィケーションにどのような役割を果たし、どのように管理できるか？
• RQ5 単一のカテゴリ上で、量子群およびヘッケ代数の作用を同時に実現するカテゴリカルな枠組みを構築できるか？

主な発見

• グローテンディーク群が $U_q(\mathfrak{gl}(1|1))$ のベクトル表現の $n$ 重テンソル冪 $V^{\bigotimes n}$ に同型である三角化カテゴリ $\mathcal{D}^{\nabla}\mathcal{Q}(\mathbbold{n})$ が構成された。
• $\mathcal{D}^{\nabla}\mathcal{Q}(\mathbbold{n})$ 上の自己関手 $\mathcal{E}$ および $\mathcal{F}$ は、$U_q(\mathfrak{gl}(1|1))$ のチェバリーゲネレータの作用をカテゴリフィケーションし、$\mathcal{E}^2 = \mathcal{F}^2 = 0$ を満たす。
• $i=1,\dots,n-1$ の各 $\mathcal{C}_i$ は、$V^{\bigotimes n}$ 上のヘッケ代数 $\mathcal{H}_n$ の作用をカテゴリフィケーションする。
• 相互作用作用素の図式計算により、$\mathcal{D}^{\nabla}\mathcal{Q}(\mathbbold{n})$ の構造を用いて正規基底の元を明示的に計算できる。
• カテゴリフィケーションは、ウェブで定義される準同型と可換である。これは、完成化されたグローテンディーク群における図式 (7.59) の可換性により示され、$V^{\bigotimes n}$ 上の量子群およびヘッケ代数の作用が回復される。