[論文レビュー] Categorified cyclic operads

Pierre-Louis Curien, Jovana Obradović|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、集合値の循環的オペラッドの公理を等式から同型へ緩和することで、カテゴリ化された循環的オペラッドの概念を導入し、DožnおよびPetrićの弱Cat-オペラッドに関する研究にインspされた句単位の項書き換え技法を用いて整合性を確立する。主な貢献は、すべての標準的同型の図式が可換であることを保証する整合性定理であり、2-多様体表現による符号割り当てを用いて、循環的オペラッドの奇数版のフェインマンカテゴリを構成する応用を含む。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a notion of categorified cyclic operad for set-based cyclic operads with symmetries. Our categorification is obtained by relaxing defining axioms of cyclic operads to isomorphisms and by formulating coherence conditions for these isomorphisms. The coherence theorem that we prove has the form "all diagrams of canonical isomorphisms commute". Our coherence results come in two flavours, corresponding to the "entries-only" and "exchangeable-output" definitions of cyclic operads. Our proof of coherence in the entries-only style is of syntactic nature and relies on the coherence of categorified non-symmetric operads established by Do\v{s}en and Petri\'c. We obtain the coherence in the exchangeable-output style by "lifting" the equivalence between entries-only and exchangeable-output cyclic operads, set up by the second author. Finally, we show that a generalisation of the structure of profunctors of B\' enabou provides an example of categorified cyclic operad, and we exploit the coherence of categorified cyclic operads in proving that the Feynman category for cyclic operads, due to Kaufmann and Ward, admits an odd version.

研究の動機と目的

• 厳密な等式を同型に置き換えることで、対称性を伴う循環的オペラッドの整合的カテゴリ化を構築すること。
• エントリーズオンliy定義におけるすべての標準的同型の図式が可換であることを保証する整合性定理を確立すること。
• 第二著者が確立した同値性を介して、交換可能な出力定義への整合性結果の拡張を図ること。
• プロファンクターがカテゴリ化された循環的オペラッドのモデルを形成することを示すこと。
• 整合性フレームワークを用いて、循環的オペラッドの奇数版フェインマンカテゴリを構成すること。

提案手法

• エントリーズオンリ定義の循環的オペラッドをカテゴリ化し、集合レベルの作用を圏に、公理を同型に置き換える。これには、逐次的結合子βと交換子γを含む。
• DožnおよびPetrićの弱Cat-オペラッドの整合性証明にインスパイアされた、句単位の項書き換えアプローチを採用する。
• 整合性問題を段階的に簡略化する：まず対称群作用を除外し、次に循環性を排除し、最後にスケルタル構造に制限する。
• Mac Laneの五角形と自己同型の要件に加え、新たに3つの整合性条件（六角形、十角形、混合条件）を導入する。
• 集約のモノイダル圏を提示するための2-多様体ΣCycを導入し、1-生成子をエッジの縮約と再ラベルリングに、2-生成子を整合性関係に割り当てる。
• ΣCycの関係に符号を割り当てることで、アーベル群に値をとるフェインマンカテゴリ∥(Cyc, ν)∥oddを定義し、反-循環的オペラッドの構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 循環的オペラッドの公理は、等式を同型に置き換えることで体系的にカテゴリ化可能であり、整合性が保たれるか？
• RQ2 カテゴリ化された循環的オペラッドが、すべての標準的同型の図式が可換であることを保証するために必要な最小限の整合性条件は何か？
• RQ3 エントリーズオンリと交換可能な出力定義の間の同値性が、カテゴリ化された設定にどのように拡張可能か？
• RQ4 プロファンクターの構造は、カテゴリ化された循環的オペラッドの公理を自然に満たすか？
• RQ5 フェインマンカテゴリの循環的オペラッド版を、整合性フレームワークを用いて「奇数」版に一般化可能か？

主な発見

• 本稿は、カテゴリ化されたエントリーズオンリ循環的オペラッドにおけるすべての標準的同型の図式が可換であることを保証する整合性定理を確立した。
• 整合性証明は、3つの忠実な簡略化に依拠する：対称群作用の除外、循環性の排除、スケルタル構造への制限。最終的に、弱Cat-オペラッドにおける既知の整合性に還元される。
• 集約のモノイダル圏を提示するための新しい2-多様体ΣCycが構成され、エッジの縮約と再ラベルリングのための生成子、および整合性関係のための2-生成子を有する。
• 著者らは、関係x◦y = y◦xに符号−を割り当てられ、他のすべての関係には符号+が割り当てられることを証明した。これにより、符号割り当てνが定義され、奇数フェインマンカテゴリが構成可能となる。
• 奇数フェインマンカテゴリ∥(Cyc, ν)∥oddが構成され、その表現は反-循環的オペラッドを形成し、バーおよびコバー構成、およびフェインマン変換をサポートする。
• プロファンクター構成は、カテゴリ化された循環的オペラッドの具体例を提供し、フレームワークの一般性を裏付ける。