[論文レビュー] Categorified trace for module tensor categories over braided tensor categories

André Henriques, David Penneys+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、braided pivotal 圏 C 上のモジュールテンソル圏 M に対して、braided で分岐するチューブを用いた豊かな図式的計算を備えた、カテゴリ化されたトレース関手 TrC: M → C を導入する。主な貢献は、A と B が代数的構造を持つとき、TrC(A) と TrC(A⊗B) が代数的構造を持つこと、および A と B が半単純であるとき、それらが半単純であることの証明である。これはやや弱い仮定のもとで成り立つ。

ABSTRACT

Given a braided pivotal category $\mathcal C$ and a pivotal module tensor category $\mathcal M$, we define a functor $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}:\mathcal M o \mathcal C$, called the associated categorified trace. By a result of Bezrukavnikov, Finkelberg and Ostrik, the functor $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}$ comes equipped with natural isomorphisms $τ_{x,y}:\mathrm{Tr}_{\mathcal C}(x \otimes y) o \mathrm{Tr}_{\mathcal C}(y \otimes x)$, which we call the traciators. This situation lends itself to a diagramatic calculus of `strings on cylinders', where the traciator corresponds to wrapping a string around the back of a cylinder. We show that $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}$ in fact has a much richer graphical calculus in which the tubes are allowed to branch and braid. Given algebra objects $A$ and $B$, we prove that $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}(A)$ and $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}(A \otimes B)$ are again algebra objects. Moreover, provided certain mild assumptions are satisfied, $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}(A)$ and $\mathrm{Tr}_{\mathcal C}(A \otimes B)$ are semisimple whenever $A$ and $B$ are semisimple.

研究の動機と目的

• . ブレードドテンソル圏上のピボタルモジュールテンソル圏 M に対して、関手 TrC: M → C を定義する。
• . 標準的なストリング図式計算を一般化する、ブレードドで分岐するチューブを用いた、TrC のための図式的計算を確立する。
• . TrC が代数的構造を保存することを証明し、A と B が代数的であるとき、TrC(A) と TrC(A⊗B) が代数的であることを示す。
• . TrC が半単純性を保存する条件を確立する：A と B が半単純であるとき、TrC(A) と TrC(A⊗B) が半単純である。
• . トレーシェイタ、乗法、単位写像を、ブレードとねじれを含む整合的な図式的計算に統合する。

提案手法

• . カテゴリ化されたトレース TrC は、関手 Φ: C → M における右随伴として定義され、Φ(c) = c · 1M である。
• . トレーシェイタ τx,y: TrC(x⊗y) → TrC(y⊗x) は、Drinfel’d 中心埋め込み ΦZ: C → Z(M) を用い、中心からの自然同型を用いて構成される。
• . 3次元におけるチューブを用いた完全な図式的計算が開発され、対象が平面から円筒に持ち上げられ、ブレードと分岐が許可される。
• . 乗法写像 µx,y: TrC(x)⊗TrC(y) → TrC(x⊗y) と単位写像 i: 1C → TrC(1M) は、右随伴のラックスモノイド構造から導出される。
• . トレーシェイタ、乗法、および C のブレード・ねじれの間の相互作用は、ホイソトピー不変性を含む図式的恒等式によって形式化される。
• . 理論は、TrC(A) と TrC(A⊗B) が A と B から代数的構造を引き継ぎ、やや弱い仮定のもとで半単純性が保存されることを示す応用に用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . ブレードドテンソル圏上のモジュールテンソル圏に対して、どのようにカテゴリ化されたトレース関手を定義できるか？
• RQ2 . ブレードとチューブの分岐を含む、カテゴリ化されたトレースの挙動を支配する図式的計算は何か？
• RQ3 . カテゴリ化されたトレースが、モジュール圏内の対象の代数的構造を保存する条件は何か？
• RQ4 . カテゴリ化されたトレースが、対象の半単純性を保存するのはいつか？
• RQ5 . トレーシェイタ、乗法、単位写像は、基本圏 C のブレードとねじれとどのように相互作用するか？

主な発見

• . カテゴリ化されたトレース TrC: M → C は、自然な単位写像と乗法写像を備えたラックスモノイド関手である。
• . トレーシェイタ τx,y: TrC(x⊗y) → TrC(y⊗x) は存在し、必要な巡回性公理 τx,y⊗z = τz⊗x,y ◦ τx⊗y,z を満たす。
• . A が M 内の代数的対象であるとき、TrC(A) は C 内の代数的対象である。
• . A と B が M 内の代数的対象であるとき、TrC(A⊗B) は C 内の代数的対象である。
• . A と B が M 内の半単純代数的対象であるとき、やや弱い仮定のもとで、TrC(A) と TrC(A⊗B) は C 内の半単純代数的対象である。
• . TrC の図式的計算は、[HPT15] の続編論文で示されるように、ホイソトピー不変性を有する。この計算は、C 内部の平面代数を用いて構築される。