[論文レビュー] Categorifying Hecke algebras at prime roots of unity, part I

Ben Elias, You Qi|arXiv (Cornell University)|May 6, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、A型における図式的ヘッケカテゴリに、特殊な次数2の微分作用素を備えたp-微分付き可換環（p-dg）構造を導入する。この微分作用素は、p-dgグロテンディーク群においてヘッケ代数の関係を満たす。本稿は、このような微分作用素の存在と一意性（双対性および同値性を除く）を証明し、p-dgグロテンディーク群が、カジダン＝ルシュティグ基底およびp-正規基底とは異なる新しい基底を備えたアーベル・イワハリ＝ヘッケ代数に同型であると予想する。

ABSTRACT

We equip the type $A$ diagrammatic Hecke category with a special derivation, so that after specialization to characteristic $p$ it becomes a $p$-dg category. We prove that the defining relations of the Hecke algebra are satisfied in the $p$-dg Grothendieck group. We conjecture that the $p$-dg Grothendieck group is isomorphic to the Iwahori-Hecke algebra, equipping it with a basis which may differ from both the Kazhdan-Lusztig basis and the $p$-canonical basis. More precise conjectures will be found in the sequel. Here are some other results contained in this paper. We provide an incomplete proof of the classification of all degree $+2$ derivations on the diagrammatic Hecke category, and a complete proof of the classification of those derivations for which the defining relations of the Hecke algebra are satisfied in the $p$-dg Grothendieck group. In particular, our special derivation is unique up to duality and equivalence. We prove that no such derivation exists in simply-laced types outside of finite and affine type $A$. We also examine a particular Bott-Samelson bimodule in type $A_7$, which is indecomposable in characteristic $2$ but decomposable in all other characteristics. We prove that this Bott-Samelson bimodule admits no nontrivial fantastic filtrations in any characteristic, which is the analogue in the $p$-dg setting of being indecomposable.

研究の動機と目的

• A型における図式的ヘッケカテゴリに、特徴値pに特化するp-微分付き可換環（p-dg）構造を構成すること。
• イワハリ＝ヘッケ代数の定義関係が、p-dgグロテンディーク群において成立することを証明すること。
• p-dgグロテンディーク群においてヘッケ関係を満たす、図式的ヘッケカテゴリ上の次数+2の微分作用素をすべて分類すること。
• 有限型およびアフィンA型を超える単純連結型において、このような微分作用素が存在するかを調査すること。
• 特に特徴値2において、ボット＝サマーセルン・バイモジュールのp-dg構造下での挙動を調査すること。

提案手法

• 特徴値pに特化した際、dp = 0 を満たす、整数的かつ次数2の特別な微分作用素を図式的ヘッケカテゴリに導入すること。
• p-dgカテゴリおよびグロテンディーク群の理論を用いて、微分作用素によるカテゴリの像を分析すること。
• 「ファンタスティックフィルトレーション」の概念を、不分解性のp-dg類似物として用い、バイモジュール構造を研究すること。
• 厚い計算およびゾーゲル計算における明示的図式的計算を用いて、関係式の検証を行うこと。
• 180度回転やディンキン図の自己同型といった対称性を活用し、異なる微分計算を関連付けること。
• A8型における特定のボット＝サマーセルン・バイモジュールの自己準同型環を分析し、微分作用素下での非分解性を検出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 図式的ヘッケカテゴリに、ヘッケ代数の関係がp-dgグロテンディーク群において成立するような次数2の微分作用素が存在するか？
• RQ2 p-dgヘッケカテゴリの導来カテゴリは、素数の単位根における小さな量子群とカテゴリカルに同値か？
• RQ3 p-dgグロテンディーク群が、カジダン＝ルシュティグ基底およびp-正規基底とは同型でない新しい基底を備えたイワハリ＝ヘッケ代数に同型になるか？
• RQ4 単純連結型において、有限型およびアフィンA型以外の非自明なp-dg微分作用素は存在するか？
• RQ5 p-dg構造は、特に特徴値2において、ファンタスティックフィルトレーションと類似した方法で不分解性を検出できるか？

主な発見

• 本稿は、A型における図式的ヘッケカテゴリに、ヘッケ代数の関係がp-dgグロテンディーク群において成立するような、一意的（双対性および同値性を除く）な次数2の微分作用素を構成した。
• 有限型およびアフィンA型以外の単純連結型において、このような微分作用素は存在しないことが証明され、強い型制限が確立された。
• S8における特定の系列に付随するボット＝サマーセルン・バイモジュールに関して、p-dg微分は非ゼロであり、自己準同型 d(p)i も非ゼロであるため、オブジェクト By は任意のdgフィルトレーションにおいて X の直接和成分ではないことが示された。
• 計算により d(p) ≠ 0 および d(i) ≠ 0 であることが判明し、多項式 x1, x3, x6, x8 および分離・合成写像からの非自明な自己準同型を含む明示的表現が得られた。
• A8型における例は、予想されるd-正規基底がp-正規基底およびカジダン＝ルシュティグ基底とは異なることを示している。
• 本稿は、p-dgグロテンディーク群においてヘッケ関係を満たす微分作用素の完全な分類を提供し、すべての次数+2の微分作用素の不完全な分類も提示した。