[論文レビュー] Category equivalences involving graded modules over path algebras of quivers

S. Paul Smith|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限クーヴィーのパス代数上の階数付き加群に関連する複数のカテゴリカル同型を確立し、商カテゴリ QGr(kQ) がいくつかの代数の加群カテゴリと同型であることを示している。具体的には、S(Q)、Leavittパス代数 L(Q°) の次数0成分、および L(Q°) の階数付き加群カテゴリと同型である。主な結果は、QGr(kQ) が Mod S(Q) と同型であり、S(Q) はパス空間の自己準同型代数の直和限界として定義される。また、qgr(kQ) のすべての短完全系列が分裂するため、三角的構造を備えることができる。

ABSTRACT

Let kQ be the path algebra of a quiver Q with its standard grading. We show that the category of graded kQ-modules modulo those that are the sum of their finite dimensional submodules, QGr(kQ), is equivalent to several other categories: the graded modules over a suitable Leavitt path algebra, the modules over a certain direct limit of finite dimensional multi-matrix algebras, QGr(kQ') where Q' is the quiver whose incidence matrix is the n^{th} power of that for Q, and others. A relation with a suitable Cuntz-Krieger algebra is established. All short exact sequences in the full subcategory of finitely presented objects in QGr(kQ), split so that subcategory can be given the structure of a triangulated category with suspension functor the Serre degree twist (-1); it is shown that this triangulated category is equivalent to the "singularity category" for the radical square zero algebra kQ/kQ_{\ge 2}.

研究の動機と目的

• クーヴィー Q から導かれるさまざまな代数と、階数付き kQ 加群の商カテゴリ QGr(kQ) 間のカテゴリカル同型を確立すること。
• QGr(kQ) の標準的対象 O の自己準同型代数 S(Q) を、パス空間の自己準同型環の直和限界として定義し、それが超行列的 k-代数として特徴づけられることを示すこと。
• QGr(kQ) の有限生成的対象の全部分カテゴリ qgr(kQ) が、セールのねじれ関手を用いて三角的構造を備えること。
• kQ/kQ≥2 のルート平方ゼロ代数 Λ に対する特異カテゴリ D^b(Λ)/D^perf(Λ) と QGr(kQ) 間の導来同値を確立すること。

提案手法

• パス空間 kQ_n の長さ n に対する自己準同型代数 End_{kI}(kQ_n) の直和限界として S(Q) を定義し、kQ_1 とのテンソル積によって有向系を形成する。
• Fdim(kQ) を有限次元部分加群の和からなる全部分加群カテゴリとするとき、商カテゴリ QGr(kQ) := Gr(kQ)/Fdim(kQ) を定義する。
• QGr(kQ) 内の対象 O = π*(kQ) が有限生成的で射影的生成元であることを証明し、Hom_{QGr(kQ)}(O, -) が Mod S(Q) に値をとる同型を誘導することを示す。
• Q から順次ソースとシンクを除去することでクーヴィー Q° を構成し、QGr(kQ) ≡ QGr(kQ°) および L(Q°) が強く階数付きであること、さらに L(Q°)_0 ≅ S(Q°) であることを示す。
• ブラッテリ図を用いて、Q のインシデント行列を用いて S(Q) の構造を明示的に記述する。
• モラータ理論および K_0 による超行列的代数のエリオット分類を用い、同型な K_0-順序群を持つ代数の加群カテゴリの間の同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QGr(kQ) の標準的対象 O の自己準同型代数の構造は何か？ そしてそれはクーヴィー Q とどのように関係するか？
• RQ2 Q° が Q からソースとシンクを反復的に除去して得られる場合、QGr(kQ) と QGr(kQ°) の関係は何か？
• RQ3 QGr(kQ) の有限生成的対象の全部分カテゴリ qgr(kQ) は、三角的構造を備えることができるか？ もしそうなら、どのような関手を用いるか？
• RQ4 kQ/kQ≥2 のルート平方ゼロ代数 Λ に対して、QGr(kQ) と特異カテゴリ D^b(Λ)/D^perf(Λ) の関係は何か？
• RQ5 S(Q)、L(Q°)、L(Q°)_0 の間のカテゴリカル関係は何か？ また、Q のインシデント行列はそれらの構造において果たす役割は何か？

主な発見

• QGr(kQ) の対象 O の自己準同型代数は、S(Q) に同型であり、S(Q) は End_{kI}(kQ_n) の直和限界として構成される超行列的 k-代数である。
• QGr(kQ) は Mod S(Q) と同型であり、この同型は関手 Hom_{QGr(kQ)}(O, -) によって実現される。
• QGr(kQ) 内の有限生成的対象の全部分カテゴリ qgr(kQ) ではすべての短完全系列が分裂するため、セールのねじれ関手 (−1) を用いて三角的構造を備えることができる。
• QGr(kQ) は、Q からソースとシンクを反復的に除去して得られるクーヴィー Q° に対して QGr(kQ°) と同型である。
• Leavittパス代数 L(Q°) は強く階数付きであり、その次数0成分 L(Q°)_0 は S(Q°) に同型である。これにより、QGr(kQ) ≡ Mod L(Q°)_0 が成り立つ。
• ルート平方ゼロ代数 Λ = kQ/kQ≥2 に対する特異カテゴリ D^b(Λ)/D^perf(Λ) は、三角的カテゴリ qgr(kQ) と同型であり、導来同値が確立される。