[論文レビュー] The graded structure of Leavitt Path algebras

Roozbeh Hazrat|arXiv (Cornell University)|May 11, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有向グラフに付随するLeavittパス代数（LPA）の$η$-graded構造を調査し、$⊕\mathbb{Z}$-gradingを備えた重み付きLeavittパス代数を導入することで、古典的LPAを一般化する。有限LPAが強gradedであるための条件として、すべての頂点がサイクルに到達可能であること、すなわち、すべての頂点がサイクルに到達可能であること、を示し、$K_0(\mathcal{L}(E,w)) \cong \operatorname{coker}(N^t - I_w)$を証明することで、$K$-理論的不変量を重み付き設定に拡張する。

ABSTRACT

Leavitt path algebras associate to directed graphs a $\mathbb Z$-graded algebra and in their simplest form recover the Leavitt algebras $L(1,k)$. In this note, we first study this $\mathbb Z$-grading and characterize the ($\mathbb Z$-graded) structure of Leavitt path algebras, associated to finite acyclic graphs, $C_n$-comet and multi-headed graphs. The last two type are examples of graphs whose Leavitt path algebras are strongly graded. We characterize Leavitt path algebras which are strongly graded, along the way obtaining classes of algebras which are group rings or crossed-products. In an attempt to generalize the grading, we introduce weighted Leavitt path algebras associated to directed weighted graphs which have natural $ extstyle{\bigoplus} \mathbb Z$-grading and in their simplest form recover the Leavitt algebras $L(n,k)$. We then establish some basic properties of these algebras.

研究の動機と目的

• 有限な非循環グラフ、$C_n$-コメット、マルチヘッドグラフ、ポリセファリー・グラフに付随するLeavittパス代数（LPA）の$η$-graded構造を分析すること。
• LPAが強gradedであるための条件を特定すること、特にすべての頂点がサイクルに到達可能であるというグラフ論的条件を含むこと。
• 有向重み付きグラフ上での重み付きLeavittパス代数を導入することで、$⊕\mathbb{Z}$-gradingを自然に持つように一般化すること。
• 特に$K_0$-理論を含む基本的不変量を、古典的LPAから重み付きLPAへ拡張すること。行列のcokernel構成を用いる。
• 単位的強graded LPAが群環またはクロス積として得られることを確立し、より深い代数的構造を明らかにすること。

提案手法

• グラフ上のパス長を用いて、Leavittパス代数に$η$-gradingを定義し、標準的$η$-gradingを一般化する。
• エッジに重みを付与した有向グラフを用いて、重み付きLeavittパス代数を導入し、生成子と関係式をエッジの重みに応じて調整する。
• 各出発頂点ごとの最大エッジ重みの行列$N$と単位行列$I_w$を用いて、写像$N^t - I_w$を$\mathbb{Z}^{E^0 \setminus \operatorname{Sink}} \to \mathbb{Z}^{E^0}$に定義する。
• アーベルモノイド$M_E$（頂点を重み付き関係で割ったもの）を生成するモノイド$\mathcal{V}(\mathcal{L}(E,w)) \cong M_E$の同型を確立する。
• Morita理論と$K$-理論的同型を用いて、$K_0(\mathcal{L}(E,w))$を$N^t - I_w$のcokernelと関連づけ、$K_0(\mathcal{L}(E,w)) \cong \operatorname{coker}(N^t - I_w)$を導出する。
• 具体例を用いて$K_0$の計算を検証し、$K_0 \cong \mathbb{Z}$または$\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$となる場合や、$[A]$が自明だが$K_0$が非自明な環の構成を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Leavittパス代数が強gradedであるのはいつか？ その条件を満たすグラフ論的条件は何か？
• RQ2 Leavittパス代数の$η$-gradingは、どのように重み付きグラフに一般化できるか？
• RQ3 重み付きLeavittパス代数の$K_0$-群は何か？ そして、代数的にどのように計算できるか？
• RQ4 単位的Leavittパス代数が群環またはクロス積として得られるのはどのような条件か？
• RQ5 重み付きLPAの$K_0$-不変量は、エッジ重みから導かれる行列のcokernelによって完全に記述可能か？

主な発見

• 有限なLeavittパス代数$\mathcal{L}_R(E)$は、グラフ$E$のすべての頂点がサイクルに到達可能であることと同値に、強gradedである。
• $C_n$-コメットグラフでは、$\mathcal{L}_K(E) \cong \mathbb{M}_d(K[x,x^{-1}])$であり、この同型は$\mathbb{Z}$-gradingを保存する。
• 重み付きLeavittパス代数は自然な$\bigoplus\mathbb{Z}$-gradingを備えており、古典的LPAを一般化し、最も単純な形で$L(n,k)$を回復する。
• 重み付きLeavittパス代数の$K_0$-群は、行列$N^t - I_w$のcokernelと同型であり、すなわち$K_0(\mathcal{L}(E,w)) \cong \operatorname{coker}(N^t - I_w)$である。
• $K_0(A) \not= 0$だが$[A] = 0$であるような環$A$が存在し、たとえば$A = \mathbb{M}_k(V_{n,n+k})$は、Groーディック群における自明な類だが非自明な$K_0$を持つことを示している。
• 例5.24では$K_0(\mathcal{L}(E,w)) \cong \mathbb{Z}$であり、例5.25では$K_0(\mathcal{L}(E,w)) \cong \mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$である。これはcokernel公式の妥当性を確認している。