[論文レビュー] Category O and sl(k) link invariants

Joshua Sussan|ArXiv.org|Jan 1, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 37被引用数 54

ひとこと要約

この論文は、$\mathfrak{sl}_k$のリンク不変量のカテゴリフィケーションを、$\mathfrak{gl}_n$のグレーディング付き$\mathcal{O}$カテゴリを用いて構成する。tangle図式に射影的関手およびZuckerman関手を割り当てることで、これらの関手のGrothendieck群が$\mathfrak{sl}_k$のスキーン関係を満たすことを確立し、tangleおよび2-tangleの関手的不変量としてHOMFLYPT多項式をカテゴリフィケーションする。

ABSTRACT

We construct a functor valued invariant of oriented tangles on certain singular blocks of category O. Parabolic subcategories of these blocks categorify tensor products of various fundamental sl(k) representations. Projective functors restricted to these categories give rise to a functorial action of the Lie algebra. On the derived category, Zuckerman functors categorify sl(k)- homomorphisms. Cones of natural transformations between the identity functor and Zuckerman functors are assigned to crossings and this assignment satisfies the appropriate relations. On the Grothendieck group, the functors assigned to the crossings satisfy the sl(k)- specialization of the two variable HOMFLYPT polynomial. For the special case of links, we get a homological invariant.

研究の動機と目的

• tangleの関手的不変量を構成し、$\mathfrak{sl}_k$のリンク不変量をカテゴリフィケーションすること。
• $\mathfrak{sl}_2$のカテゴリ$\mathcal{O}$によるカテゴリフィケーション計画を、より高いランクのリー代数$\mathfrak{sl}_k$に拡張すること。
• HOMFLYPT多項式を、カテゴリ$\mathcal{O}$から構築されたホモロジー理論のグレーディング付きオイラー特性として実現すること。
• tangle間のcobordismに対応する関手間の自然変換を定義し、以前の2-tangle不変量の研究を一般化すること。

提案手法

• $\mathfrak{gl}_n$のグレーディング付き$\mathcal{O}$の特異ブロックにおけるパラボリック部分カテゴリを用いて、$\mathfrak{sl}_k$の基本表現のテンソル積をカテゴリフィケーションする。
• $\mathfrak{sl}_k$の作用に射影的関手を割り当て、インターヴァーバーには導来Zuckerman関手を割り当て、量子群の関係をモデル化するためのグレーディング付きリフトを用いる。
• シフトされた包含関手とZuckerman関手の間の随伴射のコーンを用いて、tangle図式の交差をモデル化する。
• 平面的グラフの$\mathfrak{sl}_k$インターヴァーバーの図式的関係を模倣するように、関手の合成間の関手的同型を確立する。
• Grothendieck群におけるシフトが量子パラメータ$q$の乗算に対応するように、構成をグレーディング付き設定に上げることで、量子Serre関係のカテゴリフィケーションを可能にする。
• 得られた関手値のtangle不変量が、Grothendieck群においてリードマイスター移動および$\mathfrak{sl}_k$のスキーン関係を満たすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathfrak{sl}_k$のリンク不変量は、$\mathfrak{gl}_n$のカテゴリ$\mathcal{O}$を用いてどのようにカテゴリフィケーションできるか？
• RQ2 カテゴリ$\mathcal{O}$および射影的関手とZuckerman関手のグレーディング付きリフトを用いて、HOMFLYPT多項式の関手的実現は何か？
• RQ3 tangleに割り当てられた関手間の自然変換は、2-tangle設定におけるcobordismに対応するか？
• RQ4 $\mathfrak{sl}_k$のスキーン関係は、Grothendieck群における関手の合成の同型として実現可能か？
• RQ5 カテゴリ$\mathcal{O}$のグレーディング構造は、$q$-乗算に対応するシフトを用いて、どのように量子群作用のカテゴリフィケーションを可能にするか？

主な発見

• 関手値tangle不変量のGrothendieck群は、$\mathfrak{sl}_k$のスキーン関係を満たし、$[\Pi_i] = (-1)^k q^k ([\widetilde{\epsilon}_{\mathfrak{s}_i} L\widetilde{Z}^{\mathfrak{s}_i}} - q^{-1} [\mathrm{Id}])$である。
• Grothendieck群において関係$q^k [\Omega_i] - q^{-k} [\Pi_i] = (-1)^{k-1} (q - q^{-1}) [\mathrm{Id}]$が成り立ち、カテゴリフィケートスキーン関係が確認される。
• tangle図式のフルターンに対応する関手の合成は、$[3]\langle 1\rangle$シフトを施した恒等関手と同型である。これはリードマイスターI移動の検証である。
• 包含関手と導来Zuckerman関手の合成間の関手的同型が構成され、一般化されたヴェルマモジュール上で同型に制限される。
• 構成はグレーディング付き設定に上げられ、シフトが量子パラメータ$q$に対応するため、量子Serre関係のカテゴリフィケーションが可能になる。
• tangleに割り当てられた関手間の自然変換はcobordismに対応し、$\mathfrak{sl}_2$の以前の結果を一般化し、$\mathfrak{sl}_k$へのプログラムの拡張が達成される。