[論文レビュー] Caterpillars in Erd\H{o}s-Hajnal

Anita Liebenau, Marcin Pilipczuk+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、すべてのカーペット型分割がスパースな強いErdős-Hajnal性質を満たすことを証明している。任意の$T$-自由なグラフにおいて、ある頂点の次数が線形であるか、あるいは2つの大きな反完全集合が存在する。このことから、カーペット型分割とその補グラフの両方を含まないグラフは、多項式サイズのクリークまたは安定集合を含むことが示され、先行研究のパスやフックに関する結果が拡張される。

ABSTRACT

Let $T$ be a tree such that all its vertices of degree more than two lie on one path, that is, $T$ is a caterpillar subdivision. We prove that there exists $\\epsilon>0$ such that for every graph $G$ with $|V(G)|\\ge 2$ not containing $T$ as an induced subgraph, either some vertex has at least $\\epsilon|V(G)|$ neighbours, or there are two disjoint sets of vertices $A,B$, both of cardinality at least $\\epsilon|V(G)|$, where there is no edge joining $A$ and $B$. A consequence is: for every caterpillar subdivision $T$, there exists $c>0$ such that for every graph $G$ containing neither of $T$ and its complement as an induced subgraph, $G$ has a clique or stable set with at least $|V(G)|^c$ vertices. This extends a theorem of Bousquet, Lagoutte and Thomass\\'e [JCTB 2015], who proved the same when $T$ is a path, and a recent theorem of Choromanski, Falik, Liebenau, Patel and Pilipczuk [Electron. J. Combin. 2018], who proved it when $T$ is a "hook".

研究の動機と目的

• すべてのカーペット型分割に対してスパースな強いErdős-Hajnal性質を確立すること。
• パスやフックに関する先行研究を、より広い木のクラスにまで拡張すること。
• カーペット型分割とその補グラフの両方を含まないグラフが多項式サイズのクリークまたは安定集合を含むことを証明すること。
• 質量実現と$\tau$-バタフライを用いた構造的枠組みを構築し、$T$-自由グラフを分析すること。
• カーペット型分割の対称的強いEH性質の特徴付けに関する予想を解決すること。

提案手法

• 中心脊椎が$\tau+1$個の頂点からなり、最後の脊椎頂点に$\tau$個の葉が接続された木を$\tau$-バタフライと定義する。
• グラフ$G$における木$N$の$\kappa$-実現とは、頂点集合が近接頂点をカバーし、連結部分グラフを誘導することを意味する。
• 質量と成分数を追跡しながら、$\tau$-ナーセリー$N_0, \dots, N_q$の逐次的改善を用いる。
• 集合のサイズを制御し、十分な質量配分を保証するために、$\kappa_i = 2^{-i}p^{-1} - (\tau+2)\epsilon$の再帰的質量配分スキームを適用する。
• $T$-自由グラフが$\tau$-バタフライの$\kappa_p$-実現をもつならば、誘導部分グラフ構成により矛盾が生じることを証明する。
• Rödlの定理を用いて、スパースな強いEH性質と対称的強いEH性質を結びつけ、主要な結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのカーペット型分割はスパースな強いErdős-Hajnal性質を満たすか？
• RQ2 カーペット型分割とその補グラフの両方を含まないグラフに対して、対称的強いErdős-Hajnal性質を確立できるか？
• RQ3 $T$にどのような構造的条件を課すと、$T$-自由グラフが高次元頂点または2つの大きな反完全集合を含むようになるか？
• RQ4 質量実現と$\tau$-バタフライのような木構造を用いて、誘導部分グラフを含まない性質を分析できるか？
• RQ5 $T$-自由グラフに$\tau$-バタフライの実現がないことは、グラフの連結性や成分構造に構造的制約をもたらすか？

主な発見

• 任意のカーペット型分割$T$に対して、$\epsilon > 0$が存在し、任意の$T$-自由グラフ$G$は、$\epsilon |V(G)|$以上の次数を持つ頂点をもつ、または$\mu(A), \mu(B) \geq \epsilon$を満たす2つの反完全集合$A, B$を含む。
• $\tau$-バタフライは、$T$に適合する$\tau$に対して、いかなる$T$-自由グラフでも$\kappa$-実現可能でない。これは矛盾の証明の鍵となる。
• 構成により$\kappa_p = \epsilon$が保証され、$\kappa_i$の列は$p \geq 2^{\tau^2}$を保証し、成分数を制御する。
• $\tau$-ナーセリー$N_q$の最大成分数は$p - q$で抑えられ、$q \leq p-1$より$N_q$はたかだか1つの成分しか持たない。
• 最終的な矛盾は、$\phi(N_q) \geq 2p$だが、$N_q$はたかだか$\tau^2 - \tau + 1$個の頂点しか持たないため生じる。これは大きな$p$に対して不可能である。
• この結果により、任意の2つのカーペット型分割$H$と$J$に対して、$H$-自由かつ$\overline{J}$-自由な任意のグラフ$G$は、ある$c > 0$に対して$|V(G)|^c$以上のサイズのクリークまたは安定集合を含むことが示される。